Bizonyítási és problémamegoldási módszerek a kombinatorikában
Akkreditált pedagógus-továbbképzés
ONLINE, 2022. február 4-5. és február 11-12.
LEÍRÁS
- A továbbképzés a köznevelés 5-12. évfolyamán tanító matematikatanárok számára került meghirdetésre, 30 óra összóraszámmal.
- A képzést az EFOP 3.4.3. pályázat keretei között valósítjuk meg, ezért a részvétel díjmentes.
- A továbbképzés feladatközpontú, vagyis az idő nagy részében
konkrét kombinatorika feladatokat oldunk meg közösen. Az elméleti/didaktikai
kérdéseket is egy-egy ilyen feladathoz kapcsolva beszéljük meg. A
feladatok összeállításánál az érettségi feladatok
"szellemiségét" próbáltam követni, illetve természetesen nehezebb,
szakkörre való feladatokat is tárgyalunk.
- A programnak két fő célkitűzése van: Egyrészt felfrissítjük, elmélyítjük és kiegészítjük az egyetemi/főiskolai
tanárképzés kombinatorika tananyagát, másrészt áttekintjük a matematikai problémamegoldás során előforduló főbb bizonyítási és feladatmegoldó technikákat
(teljes indukció, indirekt bizonyítás stb.).
JELENTKEZÉS
- A továbbképzésre a kari pedagógus-továbbképzés honlapon található jelentkezési lap elküldésével lehet jelentkezni (további részletek ott, ahol a piros kiemelés a jelentkezési lap letöltési linkje).
- Továbbá kérem, emailben is jelezzék a részvételi szándékot az előadónál, Nagy V. Gábornál (emailcím: ngaba@math.u-szeged.hu).
KÖVETELMÉNYEK
- A teljesítés egyik formai követelménye az órák minimum 80%-án való részvétel.
- A kiadott otthoni gyakorló feladatok megoldását a kitűzéstől számított 7 napon belül be kell nyújtani, illetve az oktató által jelzett hibákat ki kell javítani a projektmunka leadásának határidejéig.
(A kijavítás történhet csoportmunkában az erre kijelölt órán, vagy személyes konzultáció útján is.)
- A résztvevőknek egyénileg egyeztetett témákban projektmunkát kell készíteniük.
A projektmunka a kiválasztott témakör rövid elméleti bemutatását, valamint ehhez kapcsolódóan egy 1-2 órás feladatközpontú „szakköri”
foglalkozásnak a tartalmi és módszertani kidolgozását tartalmazza. A projektmunkának 4-8 oldal terjedelműnek kell lennie az ábrákat nem számítva
(A4-es lapon, 12 pontos betűmérettel, normál sorközzel és 2,5 cm-es margókkal). A projektmunkát személyesen vagy elektronikusan lehet benyújtani
az utolsó foglalkozást követő 14 napon belül. A tartalmi ismereteket – a témakör elméleti bemutatásának és a szakköri foglalkozás anyagának szakmai
megfelelőségét, valamint egy szakköri foglalkozáshoz elvárt matematikai mélység és „érdekesség” meglétét – és a módszertani kidolgozottságot – a téma
felépítését; a gyakorló feladatok helyes megválasztását didaktikai szempontból (témához kapcsolódás, egymásra épülés, fokozatos nehezedés stb.);
az óravázlatban szereplő oktatási módszerek megfelelő arányát – 50-50% arányban értékeljük. Az oktató ezen szempontok alapján egy 0 és 100 közötti
pontszámmal értékeli a projektmunkát; a teljesítéshez legalább 70 pontos értékelés szükséges.
TEMATIKA
- Kombinatorikus alapelvek (mikor adunk össze?, mikor szorzunk?, bijekciós alapelv). Kettős leszámlálás. Skatulyaelv.
- Részhalmazok összeszámlálása. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. Binomiális tétel.
- Sorbaállítások, átrendezések összeszámlálása. Permutációk ciklusai.
- Multihalmazok összeszámlálása. Multihalmazok sorbaállításai.
- Logikai szita és alkalmazásai.
- Rekurziók összeszámlálási feladatokban. Fibonacci-számok. Lineáris rekurziók megoldása. Példák nemlineáris rekurziókra.
- Gráfelméleti alapfogalmak. Fokszámtétel. Teljes gráfok. Komplementer gráf. Páros gráfok.
- Séták, vonalak, utak. Körök. Euler-vonal, Euler-tétel. Hamilton-út, Hamilton-kör.
- Összefüggő gráfok. Gráfok komponensei. Fák és tulajdonságaik. Fák élszáma. Feszítőfák.
- Gráfok színezése. Független ponthalmazok, klikkek. Síkgráfok. Tartományok színezése. Négyszín-tétel.
- Párosítások középiskolai feladatokban. Kőnig–Hall-tétel.
- Az extremális gráfelmélet és a Ramsey-elmélet alapjai középiskolai feladatokon keresztül.
- Ismétlés, konzultáció. A kiadott gyakorló feladatok igény szerinti megbeszélése.
- Felkészülés a projektmunkára: témák kiosztása, a tartalmi és formai szempontok megbeszélése.
KÖTELEZŐ IRODALOM
- Schultz János, Tarcsay Tamás: Matematika 11-12 – Emelt szint, 125-156. oldal, Maxim Kiadó, Szeged, 2010.
AJÁNLOTT IRODALOM
- Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok, Polygon Kiadó, Szeged, 2005.
- N. J. Vilenkin: Kombinatorika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
- Hraskó András, Surányi László: Matkönyv feladatgyűjtemények / Kombinatorika (9-10. évfolyam), https://matkonyv.fazekas.hu/
- Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Kombinatorika, Typotex, Budapest, 2004.
- Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Diszkrét matematika, Typotex, Budapest, 2006.
PREZENTÁCIÓK
1. A kombinatorika alapelvei
2. Részhalmazok, multihalmazok, sorbaállítások
3. Logikai szita
4. Rekurziók
5. Gráfelmélet
EGYÉB SEGÉDANYAGOK
Lineáris rekurziók megoldása középiskolában
Lineáris rekurziók alaptétele
Fák ekvivalens definíciói
Gyökeres fák
Catalan-számok zárt alakjának elemi bizonyítása (az egyetemi Kombinatorika kurzusom honlapjáról)
Euler-tétel bizonyítása (az egyetemi Kombinatorika kurzusom honlapjáról)
Dirac-tétel bizonyítása (az egyetemi Kombinatorika kurzusom honlapjáról)
A síkgráfokról bővebben (az egyetemi Kombinatorika kurzusom honlapjáról)
Hajnal Péter: KOMBINATORIKAI FOGALOMTÁR (Hajnal Péter honlapjáról)
FELADATSOROK
1. Kombinatorikus alapelvek + végeredmények
2. Binomiális együtthatók, polinomok + végeredmények
3. Multihalmazok + végeredmények
4. Sorbaállítások, átrendezések + végeredmények
5. Logikai szita + végeredmények
6. Rekurziók + végeredmények
7. Gráfelméleti alapok
8. Séták, vonalak, utak, körök
9. Összefüggőség, fák
10. Színezések
11. Párosítások, extremális gráfelmélet, Ramsey-elmélet középiskolás feladatokban
MENTETT TÁBLAKÉPEK
2022. február 4.
2022. február 5.
2022. február 11.
2022. február 12.