Absztrakt algebra (levelező)

Tudnivalók a követelményekkel kapcsolatban

Számelmélet

Diofantoszi egyenletek, kongruenciareláció, maradékosztályok, lineáris kongruenciák
Lineáris kongruenciarendszerek
Számelméleti függvények
Nevezetes számelméleti problémák
Házi feladatok
  1. Adja meg a ß117x-36y=63ß diofantoszi egyenlet összes olyan ß(x,y)ß megoldását, amelyre ß0 \leq x,y \leq 20ß teljesül.
  2. A nyuszifiú a ß0ß-ról indulva, ßa=26ß és ßb=38ß méretű ugrásokkal siet a barátnőjéhez, aki az ß1000ß-es számnál várja. Hogyan juthat el hozzá úgy, hogy folyamatosan közeledjen hozzá (tehát balra nem ugorhat)?
  3. Milyen messze van egymástól a ß14x-38y=4ß egyenletű egyenesen két szomszédos rácspont?
  4. Igaz-e tetszőleges ßa,b,c,dß egész számok esetén, hogy ß\operatorname{lnko}(a,c)=1 \implies ab+cd=1ß?
  5. Ha a ßcß számot véletlenszerűen választjuk ß1ß és ß100ß között, akkor mekkora eséllyel lesz megoldható a ß45x + 75y = cß diofantoszi egyenlet?
  6. Hány pozitív egész megoldása van a ß29x - 13y = 2020ß diofantoszi egyenletnek?
  7. Mennyi lehet ßmß értéke, ha ß187\equiv5\pmod{m}ß és ß311\equiv3\pmod{m}ß egyszerre teljesül? (Az összes megoldást keressük!).
  8. Oldja meg a ß30x\equiv8\pmod{58}ß lineáris kongruenciát. (A megoldásokat modulo ß58ß kell megadni!)
  9. Egy nyúl ugrál egy szabályos ß45ß-szög csúcsain a ß0ß-ról indulva. Mekkorákat ugorjon, hogy a ß24ß. ugrással a ß39ß-es csúcsba jusson? (Az összes ß1ß és ß44ß közötti megoldást keressük meg, de persze ne próbálgatással!)
  10. Számítsa ki ß\mathbb{Z}_{18}ß-ban az ß(\overline{5}+\overline{7})^{-1}ß, ß\overline{5}^{-1}+\overline{7}^{-1}ß és ß\overline{5}^{-1}\cdot\overline{7}^{-1}ß elemeket. (Vigyázat: nem mindegyik értelmezett!)
  11. Számítsa ki ß\mathbb{Z}_{27}ß-ben a ß\overline{2}^{-3}ß és ß\overline{3}^{-2}ß elemeket. (Vigyázat: az egyik nem értelmezett!)
  12. Mit ad ß45ß-tel osztva maradékul ß142^{125}ß?
  13. Mit ad ß98ß-cal osztva maradékul ß109^{81}ß?
  14. Mennyit ad héttel osztva maradékul ß111\cdots 111ß (ß99ß egyes)?
  15. Oldja meg az alábbi lineáris kongruenciarendszert. ßß \left. \begin{array} [c]{r}% 3x\equiv5~\left( \operatorname{mod}10\right) \\ 3x\equiv17~\left( \operatorname{mod}8\right) \\ 14x\equiv10~\left( \operatorname{mod}6\right) \end{array} \right\} ßß
  16. A kínai maradéktétel segítségével oldja meg az alábbi lineáris kongruenciarendszert. ßß \left. \begin{array} [c]{c}% x\equiv a~\left( \operatorname{mod}3\right) \\ x\equiv b~\left( \operatorname{mod}4\right) \\ x\equiv c~\left( \operatorname{mod}5\right) \end{array} \right\} ßß
  17. A 3d osztály kirándulni ment. Ötfős szobákban szállásolták el őket, így négy gyerek kénytelen volt Marcsi nénivel egy szobában aludni. Éjszaka Bence olyan rosszul viselkedett, hogy Marcsi néni felhívta a szüleit, akik már hajnalban hazavitték. Így a reggelinél szépen elfértek a gyerekek a hétszemélyes asztaloknál (Marcsi néni külön asztalnál ült). Panka gyomorrontást kapott a reggelitől, ezért délelőtt őt is hazavitték. Ebédnél az étteremben minden asztalnál kilenc gyerek ült (Marcsi néni külön asztalnál). Hányan járnak a 3d osztályba?
  18. Igaz-e, hogy ha egy kongruenciarendszerben a modulusok nem relatív prímek, akkor a kongruenciarendszernek biztosan nincs megoldása?
  19. Mennyi ß7!ß osztóinak száma és osztóinak összege?
  20. Melyik az a legkisebb természetes szám, amelynek ß25ß osztöója van?

Klasszikus algebra

Komplex számok
A polinomok számelmélete
Polinomfüggvények, gyökök, interpoláció
Irreducibilis polinomok
Viéte-formulák, szimmetrikus polinomok
Harmad- és negyedfokú egyenletek
Házi feladatok
  1. Számítsa ki kanonikus alakban: ß\left(\frac{-1+i}{2+i}\right)^{2}-\left(\frac{-1-i}{2-i}\right)^{2}ß.
  2. Létezik-e olyan ßzß komplex szám, amelyre ß\operatorname{Re}z=2ß és ß\left\vert z\right\vert =3ß?
  3. Számítsa ki trigonometrikus és kanonikus alakban is: ß(\sqrt{3}-i)\cdot(2+2\sqrt{3}i)ß.
  4. Számítsa ki a ß(2+2\sqrt{3}i)^{605}ß hatványt trigonometrikus alakban, majd adja meg a végeredményt kanonikus alakban is.
  5. Számítsa ki ß\sqrt[4]{-16}ß összes értékét trigonometrikus alakban, majd adja meg a végeredményt kanonikus alakban is.
  6. Számítsa ki ß\sqrt[3]{-8}ß összes értékét trigonometrikus alakban, majd adja meg a végeredményt kanonikus alakban is.
  7. Egységgyökök-e a következő komplex számok, és ha igen, akkor hányadik primitív egységgyökök? ßß\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,\quad-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i,\quad\operatorname{cis}\frac{5\pi}{12},\quad\operatorname{cis}\frac{6\pi}{7}ßß
  8. Igaz-e tetszőleges ßz\in\mathbb{C}ß esetén, hogy ha ßz^{2}ß harmadik egységgyök, akkor ßzß is harmadik egységgyök?
  9. Számítsa ki az ßfß és ßgß polinomok legnagyobb közös osztóját, majd határozza meg a komplex gyökeiket. ßßf=x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+2x+3,\quad g=x^{3}+x^{2}+x-3ßß
  10. Oldja meg az ßfu+gv=\operatorname*{lnko}(f,g)ß egyenletet az ismeretlen ßu,v \in \mathbb{R}[x]ß polinomokra nézve. ßßf=x^{8}-3x+2,\quad g=x^{6}-x^{5}+3x-2ßß
  11. Oldja meg az ßfu+gv=\operatorname*{lnko}(f,g)ß egyenletet az ismeretlen ßu,v \in \mathbb{Z}_7[x]ß polinomokra nézve. ßßf=x^{6}+\overline{6},\quad g=x^{4}+\overline{5}x+\overline{1}ßß
  12. Létezik-e olyan ßf\in\mathbb{R}[x]ß polinom, amelyre ß\operatorname*{lnko}(f,x^{3}-1)=x+1ß?
  13. Igaz-e minden ßf,g \in \mathbb{Z}_2[x]ß esetén, hogy ha ßf \mid gß és ßg \mid fß, akkor ßf=gß?
  14. Oldja meg az ßfu \equiv \overline{1} \pmod{m}ß kongruenciát az ismeretlen ßu \in \mathbb{Z}_5[x]ß polinomra nézve, ahol ßf = \overline{3}x^2 + \overline{2}, m = x^3 + x + \overline{1} \in \mathbb{Z}_5[x]ß.
  15. Határozza meg az ßf = x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8ß polinom ßc=2ß gyökének multiplicitását. Oldja meg a feladatot Horner-módszerrel is és deriválással is.
  16. Határozza meg Lagrange-interpolációval azt a legalacsonyabb fokú ßfß polinomot, amire ßf(1)=0ß, ßf(2)=1ß, ßf(3)=3ß és ßf(4)=6ß.
  17. Igaz-e tetszőleges ßa,b,cß valós számok esetén, hogy létezik olyan másodfokú ßf \in \mathbb{R}[x]ß polinom, amelyre ßf(13)=aß, ßf(23)=bß és ßf(89)=cß?
  18. A derivált vizsgálatával határozza meg az ßf = x^5-10x^3-20x^2-15x-4ß polinom gyökeit multiplicitásaikkal együtt.

Absztrakt algebra

Műveletek, műveleti tulajdonságok
Algebrai struktúrák
Részalgebra, generálás
Izomorfia