Matematika vegyészeknek I.

Vajda Róbert

2002. június 26.

Ennek a rövid dokumentumnak az a célja, hogy összefoglalója legyen a vegyészeknek tartott matematika gyakorlatok anyagának s így a felkészülésben segítséget nyújtson.

Összefoglaló a feldolgozandó témakörökről:

• Alapismeretek.
• Komplex számok.
• Vektorok.
• Sorozatok.
• Függvényvizsgálat.
• A többváltozós analízis elemei.
• Integrálás

1. Alapismeretek.
   1. Halmazok. Halmazok megadási módjai. Halmaz műveletek. A halmazműveletek tulajdonságai. Nevezetes számhalmazok. $R$ reprezentációja: A számegyenes. Speciális számhalmazok. A (binér) reláció fogalma. Nevezetes relációk $Z$-n és $R$-en. Relációtulajdonságok. Azonosságok. Binomiális tétel. A hatványozás azonosságai.

   2. Nevezetes egyenlőtlenségek. Háromszögegyenlőtlenség. Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség. Bernoulli-egyenlőtlenség. A Schwarz-egyenlőtlenség.

   3. A teljes indukció elve. Az első $n$ természetes szám összege. Az első $n$ négyzetszám, köbszám összege. A Bernoulli-egyenlőtlenség bizonyítása.

   4. Függvények. A függvény (leképezés) fogalma. Értelmezési tartomány, értékkészlet. Polinomok, polinomfüggvények. Faktorizáció, polinomosztás.

2. Komplex számok.
   1. Komplex számok. A számfogalom felépítése. A kompex számok bevezetésének külső és belső okai. Az imaginárius egység. A kanonikus alak. Reprezentáció: a komplex számsík. Műveleti szabályok. Komplex számok trigonometrikus alakja. Szorzás, hatványozás a trigonometrikus alak segítségével. Négyzetgyökvonás a definíció alapján. Gyökvonás általában. Az egységgyökök szerepe.

3. Vektorok.
   1. Vektorok. Műveletek $R^n$-ben. Geometriai jelentés. Vektortér axiómák és egyszerű következményei. Kitüntetett vektorrendszerek(-halmazok): függetlenség, generátorrendszer, bázis. A skalárszorzat. Ortogonalitás, norma, metrika. Az ortonormált bázisok jelentősége. Vektorok hossza, közbezárt szög. Egyenes egyenlete a síkon. Sík egyenlete térben. A vektoriális szorzat. A vegyesszorzat. Területszámítás, térfogatszámítás.

4. Sorozatok.
   1. Sorozatok. Sorozatok mint speciális függvények. Megadási módok. Tulajdonságok: Korlátosság, monotonitás, torlódási pont. Határérték. Az alapfogalmak közötti kapcsolatok. Küszöbszámkeresés. Nevezetes határértékek. Divergencia. Műveleti szabályok. Kiegészítő szabályok.

   2. Sorozatok határértékének meghatározása I. Polinomok. A határozatlan kifejezések. Racionális törtkifejezések. A 'konjugálttal' való szorzás, azonosságok alkalmazása. Mértani sorozatok.

   3. Sorozatok határértékének meghatározása II. Összegzések.
      $\left(1+{1\over n}\right)^n$-re visszavezethető feladatok. Rendőrelv.

5. Függvényvizsgálat.
   1. Függvények. Értelmezési tartomány, zérushelyek, a függvény grafikonja. Inverzfüggvény. A határérték bevezetése. Folytonosság. Műveleti szabályok. Folytonos függvények. A Cauchy- és a Heine-definíció ekvivalenciája.

   2. Függvény határértékének meghatározása. Összetett függvényekre vonatkozó szabályok. Polinomok. Határozatlan kifejezések. Racionális törtfüggvények viselkedése a (minusz) végtelenben. 'Konjugáttal' való szorzás. $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x$, ill. $\lim\limits_{x\rightarrow0}{\sin(x)\over x}$-re visszavezethető feladatok. Féloldali határértékek.

   3. Deriválás. A differenciálhányados mint speciális határérték. Geometriai jelentés. Az érintő egyenesének egyenlete. Az $f(x)=x^2$ függvény deriváltfüggvényének meghatározása a definíció alapján. Deriválási szabályok. Az összetett és az inverzfüggvvény deriváltjára vonatkozó szabály. Hatványfüggvények, trigonometrikus, exponenciális, logaritmus és ciklometrikus függvények deriváltja. A szabályok alkalmazása.

   4. A deriválás alkalmazásai. Határérték meghatározása a derivált segítségével. L'Hospital-szabály. Szélsőértékfeladatok megoldása. Magasabbrendű deriváltak. A Taylor- polinom jelentősége.

   5. Függvénydiszkusszió. Értelmezési tartomány. Zérushelyek. Az első derivált meghatározása. Monotonitási tartományok. Lokális szélsőértékek. A második derivált meghatározása. Konvexitási viszonyok, inflexiós pontok. Határértékek vizsgálata a kritikus pontokban. Táblázat készítése. A grafikon vázlata.

6. A többváltozós analízis elemei.
   1. Kétváltozós függvények. A függvényfogalom kiterjesztése. Ábrázolás. Szintvonalak Határérték, folytonosság.

   2. A különböző deriváltak értelmezése. Parciális derivált. Iránymenti derivált. Totális derivált.

   3. Alkalmazások. Érintősík. Lokális szélsőértékek.

7. Integrálás
   1. Határorozatlan integrál. Primitív függvény. Integrálási szabályok és eljárások. Parciális integrálás. Integrálás helyettesítéssel. Racionális törtfüggvények integrálása.
   2. Határozott integrál Függvény grafikonja alatti terület. Newton-Leibniz formula. Függvénygrafikonok által határolt síktartomány területe. Ívhossz (kerület). Forgástest térfogata.
   3. Kettős integrál. Vonalintegrál.