3. Példa

Határozzuk meg az $f(x)=x^2$ függvény deriváltfüggvényét.

Legyen $x_0\in\Re$ tetszőleges. Ekkor $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}{f(x)-f(x_0)\over{x-x_0}}= \lim\limits_{x\righta... ...^2-{x_0}^2\over{x-x_0}}=\lim\limits_{x\rightarrow1}{(x-x_0)(x+x_0)\over{x-x_0}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow1}{x+x_0}=x_0+x_0=2x_0$. Ezért $f$ deriváltfüggvénye mindenhol értelmezett és $f'(x)=2x$.