Bevezetés az absztrakt algebrába

Lehetetlenség bizonyítása invariánsok segítségével; a magasabb fokú egyenletek és a geometriai szerkeszthetőség problémájának megfogalmazása; gyökmennyiségek és négyzetgyökmennyiségek; pontosan a négyzetgyökmennyiségek szerkeszthetőek.

• online feladatsorok (lásd a gyuruk című feladatsort)
• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (1–24. oldal)
• Szabályos 17-szög szerkesztése (YouTube)

Házi feladatok:

1. Adott ßA,B,Cß pontok esetén szerkesszen ßAß középpontú ß|BC|ß sugarú kört.
2. Bizonyítsa be, hogy egy ßQ=(x,y)ß pont akkor és csak akkor szerkeszthető meg, ha az ßxß és ßyß számok(nak megfelelő pontok az első tengelyen) megszerkeszthetőek. (Figyelem: a második tengely nincs megadva, azt is meg kell szerkeszteni, ha használni akarjuk!)
3. Adott ßa,bß pozitív valós számokból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkessze meg az ßa \cdot bß és ßa/bß számokat.
4. Adott ßaß pozitív valós számból (és a mindig megadott ß0ß és ß1ß számokból) kiindulva szerkessze meg a ß\sqrt{a}ß számot.
5. Mutassa meg, hogy nem léteznek olyan ßa,bß racionális számok, amelyekre ß\sqrt[3]{2}=a+b\sqrt{2}ß.
6. Mutassa meg, hogy nem léteznek olyan ßa,bß racionális számok, amelyekre ß\sqrt[3]{4}=a+b\sqrt[3]{2}ß.

A testbővítés fogalma; egy elem hozzáadásával generált részgyűrű és résztest; algebrai és transzcendens elemek; minimálpolinom.

• Testbővítések (1–11. oldal)
• online feladatsorok (lásd a poldiof és irred című feladatsorokat)

Házi feladatok:

1. Milyen ßp,qß természetes számok esetén lesz ß\sqrt{\frac{p}{q}}ß irracionális? (Feltehetjük, hogy a tört már egyszerűsítve van, azaz ß\operatorname{lnko}(p,q)=1ß.) Pluszpontért: Mi a helyzet a ß\sqrt[3]{\frac{p}{q}}ß számmal?
2. Olvassa el a minimálpolinom tulajdonságairól szóló tételt a prezentációban (9–11. oldal), és alaposan indokoljon meg minden lépést a bizonyításban, különösen a ß(2)\implies(3)ß részben.
3. Határozza meg egy tetszőleges ßz=a+biß komplex szám minimálpolinomját ß\mathbb{R}ß felett. (Vigyázat: két esetet kell megkülönböztetni!)
4. Határozza meg ß\alpha=4-\sqrt{3}ß minimálpolinomját ß\mathbb{Q}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{C}ß felett.
5. Határozza meg ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß minimálpolinomját ß\mathbb{Q}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{C}ß felett.
6. Határozza meg ß\alpha=\sqrt{2}+iß minimálpolinomját ß\mathbb{Q}ß, ß\mathbb{R}ß és ß\mathbb{C}ß felett.

Egyszerű transzcendens bővítés izomorf a racionális törtek testével; egyszerű algebrai bővítés izomorf a polinomgyűrű minimálpolinom szerinti maradékosztálytestével; multiplikatív inverz kiszámítása egyszerű algebrai bővítésben.

• Testbővítések (12–21. oldal)
• online feladatsorok (lásd a HF13, HF14 és HF15 című feladatsorokat)

Házi feladatok:

1. Gyöktelenítse az alábbi tört nevezőjét (a végeredménynek ßa_3\sqrt[4]{8}+a_2\sqrt{2}+a_1\sqrt[4]{2}+a_0ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_3,a_2,a_1,a_0ß racionális számok):ßß\frac{1}{1+\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}}.ßß
2. Gyöktelenítse az alábbi tört nevezőjét (a végeredménynek ßa_2\sqrt[3]{49}+a_1\sqrt[3]{7}+a_0ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_2,a_1,a_0ß racionális számok):ßß\frac{1}{2-\sqrt[3]{7}}.ßß
3. Legyen ß\alphaß az egyetlen valós gyöke az ßx^3-2x^2+x-1ß polinomnak. Ez a polinom irreducibilis ß\mathbb{Q}ß felett, mert csak harmadfokú, és nincs racionális gyöke (ugye?). Határozza meg a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben az ß(\alpha+1)^{-1}ß elemet (a végeredménynek ßa_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0ß alakú kifejezésnek kell lennie, ahol ßa_2,a_1,a_0ß racionális számok).
   
   Megjegyzés:

   Közelítőleg ß\alpha \approx 1,755ß, a pontos érték pedig ßß\alpha = \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{25+3\sqrt{69}}{2}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{25-3\sqrt{69}}{2}}+\frac{2}{3},ßß de ezt talán jobb lett volna nem tudni...

Felbontási test, algebrai lezárt, véges testek (csak mese); egyszerű algebrai bővítés mindig végesfokú; végesfokú bővítés mindig algebrai; a testbővítések fokszámtétele; példák kétlépcsős bővítésre.

• Testbővítések (22–31. oldal)

Házi feladatok:

1. Magyarázza el a fokszámtétel bizonyításának második felét (lineáris függetlenség).
2. Határozza meg a ß[\mathbb{Q}(\sqrt{3},i):\mathbb{Q}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist a ß\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)ß testben (mint ß\mathbb{Q}ß feletti vektortérben).
3. Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Határozza meg a ß[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben (mint ß\mathbb{Q}ß feletti vektortérben).
4. Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Határozza meg az ß[\mathbb{R}(\alpha):\mathbb{R}]ß fokszámot, és adjon meg egy bázist az ß\mathbb{R}(\alpha)ß testben (mint ß\mathbb{R}ß feletti vektortérben).
5. Legyen ß\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}iß. Bizonyítsa be, hogy ß\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)ß.
6. Legyen ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß. Benne van-e ß\sqrt{2}ß illetve ß\sqrt[3]{2}ß a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben? A választ természetesen indokolni kell. Fel szabad használni a 11. feladat megoldását.
7. Legyen ß\alpha=i\sqrt{2-\sqrt{2}}ß. Benne van-e ß\sqrt[4]{2}ß a ß\mathbb{Q}(\alpha)ß testben? A választ természetesen indokolni kell. Fel szabad használni a 11. feladat megoldását. (Ez egy trükkös feladat; többet ésszel, mint erővel!)

Négyzetgyökbővítés; pontosan a négyzetgyökbővítések elemei szerkeszthetőek; kockakettőzés, körnégyszögesítés és szögharmadolás lehetetlensége.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (25–31. oldal)

Nmeuklideszi szerkesztések; radikálbővítések; az algebrai számok teste; algebrai számok vs. gyökmennyiségek; a művelet fogalma; műveleti tulajdonságok; algebrai struktúrák: grupoidok, félcsoportok, csoportok, gyűrűk, testek.

• Magasabb fokú egyenletek és geometriai szerkeszthetőség (32–38. oldal)
• Neuszisz szerkesztés
• Mathematics of paper folding
• szögharmadolás tomahawkkal (ggb)
• The Beauty of Roots

Házi feladatok:

1. Műveletek, műveleti tulajdonságok: videó, a videóhoz tartozó prezentáció és online feladatsor
2. Algebrai struktúrák: videó, a videóhoz tartozó prezentáció és online feladatsor

Grupoidok izomorfiája; invertálhatóság és kancellativitás; a csoportok éppen az invertálható félcsoportok.

• Izomorfia
• művelettáblázat-színező program
• a Diszkrét matematika II kurzushoz készült tananyagok izomorfiáról

  • videó
  • a videóban használt prezentáció (pdf)
  • a videóban használt művelettáblázat-színező program
• virtuális logarléc
• Csoportok (1–5. oldal)
• online feladatsorok (lásd a csopdef című feladatsort)

Házi feladatok:

1. Izomorf-e az ß\mathbb{A}ß grupoid ß\mathbb{B}ß és ß\mathbb{C}ß közül valamelyikkel? Ha igen, akkor adjon meg egy izomorfizmust; ha nem, akkor indokolja meg, hogy miért nem. ßß \mathbb{A}=(\{\mathtt{igaz},\mathtt{hamis}\};\vee),\quad\mathbb{B}=(\{0,1\};\diamond),\quad\mathbb{C}=(\{0,1\};\otimes) ßß ßß \renewcommand{\arraystretch}{1.5}% \begin{array}[c]{c|cc} \diamond & 0 & 1\\\hline 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array} \qquad\qquad% \begin{array}[c]{c|cc} \otimes & 0 & 1\\\hline 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} ßß
2. Izomorf-e az ß\mathbb{A}ß grupoid ß\mathbb{B}ß és ß\mathbb{C}ß közül valamelyikkel? Ha igen, akkor adjon meg egy izomorfizmust; ha nem, akkor indokolja meg, hogy miért nem. ßß \mathbb{A}=(\{-1,0,1\};\cdot),\quad\mathbb{B}=(\{0,1,2\};\otimes),\quad\mathbb{C}=(\{0,1,2\};\circ) ßß ßß \renewcommand{\arraystretch}{1.5}% \begin{array}[c]{c|ccc} \oplus & 0 & 1 & 2\\\hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array} \qquad\qquad% \begin{array}[c]{c|ccc} \circ & 0 & 1 & 2\\\hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array} ßß
3. Izomorf-e az ß\mathbb{A}ß grupoid ß\mathbb{B}ß és ß\mathbb{C}ß közül valamelyikkel? Ha igen, akkor adjon meg egy izomorfizmust; ha nem, akkor indokolja meg, hogy miért nem. ßß \mathbb{A}=(\mathbb{Z}^{\ast}_5;\cdot),\quad\mathbb{B}=(\{0,1,2,3\};\diamond),\quad\mathbb{C}=(\{0,1,2,3\};\oplus) ßß ßß \renewcommand{\arraystretch}{1.5}% \begin{array}[c]{c|cccc} \diamond & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} \qquad\qquad% \begin{array}[c]{c|cccc} \oplus & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 0 & 3 & 2\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} ßß
4. Készítsen Venn-diagramot, ami az asszociatív, invertálható és kancellatív tulajdonságú grupoidokat ábrázolja. Mind a nyolc tartománynál döntse el, hogy van-e olyan művelet, ami oda tartozik. Ha van, keressen minél kisebb példát (nem kell „szép” szabályos művelet, elég egy megfelelően kitöltött művelettáblázat). Vigyázat, van olyan tartomány, aminél csak végtelen példa létezik, de ahol lehet, keressünk végeset!
5. Oldja meg az ßS_6ß csoportban (vagyis az ß\{ 1,2,3,4,5,6 \}ß halmaz permutációi alkotta csoportban) az ß(123)(2345)\pi(456)=(134)ß egyenletet az ismeretlen ß\pi \in S_6ß permutációra.
6. Adja meg idegen ciklusok szorzataként a ß\pi^{604}ß permutációt, ahol ß\pi = (123)(3456) \in S_6ß.

Általános asszociativitás és kommutativitás; hatványozás félcsoportban, monoidban és csoportban; additív és multiplikatív írásmód. Példák csoportokra: számok, maradékosztályok, mátrixok additív és multiplikatív csoportjai, permutációcsoportok, szimmetriacsoportok; a diédercsoportok leírása.

• Csoportok (6–20. oldal)
• a kocka forgáscsoportja

Házi feladatok:

1. Írja fel az ßa-b-c-dß különbség mind az öt zárójelezését, és állapítsa meg, hogy ezek közül melyek adják ugyanazt az eredményt (minden ßa,b,c,dß valós számra).
2. Az ßx_1 - x_2 - \dots - x_nß különbség zárójelezéseivel hányféle különböző eredményt (pontosabban: hányféle különböző ß\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}ß függvényt) kaphatunk?
3. Igazolja, hogy bármely ß(A;\cdot)ß csoportban ß(a^{-1})^n=(a^n)^{-1}ß teljesül minden ßa \in Aß és ßn \in \mathbb{N}ß esetén.
4. Oldja meg a ßD_{15}ß diédercsoportban a ßta^7 \cdot x \cdot a^2t = a^{23}tß egyenletet. (Az eredmény ß\operatorname{id}, a, a^2, \dots, a^{14}, t, at, \dots, a^{14}tß valamelyike legyen.)
5. Oldja meg a ßD_{15}ß diédercsoportban a ßt \cdot x \cdot ta^5 = (a^2ta^8)^2ß egyenletet. (Az eredmény ß\operatorname{id}, a, a^2, \dots, a^{14}, t, at, \dots, a^{14}tß valamelyike legyen.)
6. Adja meg az ßmß és ßaß paraméterek függvényében, hogy hány helyre, és pontosan mely számokhoz tud eljutni a nyúl.
7. Határozza meg az alábbi alakzatok szimmetriáit és írja fel a szimmetriacsoportok művelettáblázatait.
   
8. Határozza meg az alábbi alakzatok szimmetriacsoportjait. (Nem kell fel írni a művelettáblázatokat, csak állapítsa meg, hogy melyik ismert csoporttal izomorf a szimmetriacsoport.)
   
9. Rajzoljon (fényképezzen, keressen) valamit, aminek ß\mathbb{Z}_5ß-tel izomorf a szimmetriacsoportja. Beküldendő CooSpace-en, november 1-jén estig.

A részcsoport fogalma; részcsoportok metszete; generált részcsoport; a szimmerikus csoportot generálják a transzpozíciók; az alternáló csoportot generálják a hármas ciklusok.

• Csoportok (21–25. oldal)
• frízcsoportok
• Eschersketch
• műveletek asszociatív spektruma (a 32. feladat megoldása az 5. oldalon, a 3.1. pontban található)
• Wordwall-játékok: grupoidok (kvízjáték), csoportok (vakondcsapkodós játék)
• cserélgetős játék transzpozíciókkal, hármas ciklusokkal, négyes ciklusokkal

Házi feladatok:

A 28., 36. feladatok még élnek!

1. Határozza meg a ß\mathbb{Z}_{21}^\astß csoportban a ß\big\{ \overline{8},\overline{13} \big\}ß halmaz által generált részcsoportot. (Melyik ismert csoporttal izomorf a generátum?)
2. Határozza meg a ßD_{12}ß csoportban az ß\big\{ a^3, a^2t \big\}ß halmaz által generált részcsoportot. (Melyik ismert csoporttal izomorf a generátum?)
3. Határozza meg a ß\mathbb{C}^\astß csoportban az ß\Big\{ i, \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \Big\}ß halmaz által generált részcsoportot. (Melyik ismert csoporttal izomorf a generátum?)
4. Határozza meg a ß(\mathbb{Z}^3;+)ß csoportban az ß\big\{ (-1,-1,2), (-1,2,-1), (2,-1,-1) \big\}ß halmaz által generált részcsoportot.

Csoportelem rendje; ciklikus csoportok; a ciklikus csoportok leírása izomorfia erejéig; ciklikus csoport részcsoportjai is ciklikusak; ß\mathbb{Z}_nß részcsoportjainak leírása.

• Csoportok (26–33. oldal)

Házi feladatok:

A 28. feladat még él!

1. Rend-szerezze a ß\mathbb{Z}_{21}ß csoport elemeit a rendjeik szerint. Milyen rendek lépnek fel, és melyik hányszor fordul elő?
2. Rend-szerezze a ßD_6ß csoport elemeit a rendjeik szerint. Milyen rendek lépnek fel, és melyik hányszor fordul elő?
3. Rend-szerezze az ßA_4ß csoport elemeit a rendjeik szerint. Milyen rendek lépnek fel, és melyik hányszor fordul elő?
4. Hány másodrendű elem van az ßS_5ß csoportban?
5. Sorolja fel a ß\mathbb{C}^\astß csoport összes nyolcadrendű elemét.

A rend tulajdonságai; komplexusok és komplexusműveletek; részcsoport szerinti mellékosztályok; Lagrange tétele és következményei; prímrendű csoportok leírása; legfeljebb hételemű csoportok leírása; modulo ßpß primitív gyök létezése.

• Csoportok (34–44. oldal)
• online feladatsorok (lásd a mellekoszt című feladatsort)

Házi feladatok:

1. Bizonyítsa be, hogy az ßS_nß szimmetrikus csoportot lehet két elemmel generálni: ßS_n = [\tau,\gamma]ß, ahol ß\tau = (1\,2)ß és ß\gamma = (1\,2\,\cdots\,n)ß. (Fel szabad használni, hogy ßS_nß-et generálják az ß(1\,2),\ (2\,3),\ldots, (n-1\,n)ß transzpozíciók.)
2. Mutassa meg, hogy egy csoport akkor és csak akkor véges, ha csak véges sok részcsoportja van. (Az egyik irány triviális, ugye? A másik irányhoz vizsgáljuk a ciklikus részcsoportok számát.)
3. Tekintsük a ßG=\mathbb{R}^2ß additív csoportban a ßH=\{ (x,y) : y=2x \}ß részcsoportot. Írja és rajzolja le a mellékosztályokat.
4. Tekintsük a ß\mathbb{C}^\astß csoportban az egységkört, mint részcsoportot. Írja és rajzolja le a mellékosztályokat.

Primitív gyök és index; magasabb fokú kongruencia megoldása indextáblázattal; hatványmaradékok; Legendre-szimbólum; a Cayley-féle reprezentációtétel.

• Csoportok (45–52. oldal)
• mellékosztályok és kaméleonok

Házi feladatok:

1. Határozza meg a ß\mathbb{Z}_{21}^\astß csoport minden elemének a generátumát (azaz a ciklikus részcsoportokat), majd határozza meg az összes többi (nem ciklikus) részcsoportot is, és végül rajzolja fel a részcsoportháló Hasse-diagramját.
2. Melyek izomorfak az alábbi csoportok közül? (Sorolja izomorfiaosztályokba őket.) ßß\mathbb{Z}_{7}^\ast,\; \mathbb{Z}_{8}^\ast,\; \mathbb{Z}_{9}^\ast,\; \mathbb{Z}_{10}^\ast,\; \mathbb{Z}_{11}^\ast,\; \mathbb{Z}_{12}^\ast,\; \mathbb{Z}_{13}^\ast,\; \mathbb{Z}_{14}^\ast ßß
3. Készítsen indextáblázatot a ßp=13ß modulushoz a ßg=2ß primitív gyökkel, és oldja meg az indextáblázat segítségével az ßx^9 \equiv 8 \pmod{13}ß kongruenciát.
4. Írja fel a ß\mathbb{Z}_6ß csoport Cayley-féle reprezentációjánál a ß\rho_{\overline{1}}ß és ß\rho_{\overline{2}}ß permutációkat.
5. Ismételje át a gyűrű és az integritástartomány fogalmát, valamint az oszthatóság, asszociáltság, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös fogalmát és tulajdonságait (egész számokra és test fölötti polinomokra).

Oszthatóság, asszociáltság, egységek, legnagyobb közös osztó definíciója és tulajdonságai integritástartományokban; irreducibilitás és prímtulajdonság kapcsolata.

• Gyűrűk (1–27. oldal)

Euklideszi gyűrűk; a Gauss-egészek gyűrűje; Gauss-prímek; természetes számok felbontása két négyzetszám összegére; Gauss-gyűrűk.

• Gyűrűk (28–43. oldal)