Kurusa Árpád

Matek-blog

Csónakkal át a folyón

Milyen irányba induljunk, ha szeretnénk úgy átjutni a folyón, hogy minél kevésbé kerüljünk lejjebb?

A következő probléma geometriai megoldását adjuk egy JavaScript nyelven megírt dinamikus képen bemutatva.

Probléma. Adott egy egyenes folyó párhuzamos partokkal, melyek egyikének $A$ pontjában egy nulla kiterjedésű csónak van. A folyó sebessége $\frac{m}{s}$ mértékben $w$, a hajó sebessége ugyanezen mértékben $v$ ha álló vízen halad. A folyó túloldalán az $A$ ponttal szemben a $B$ pont van. Milyen irányba állítsuk a hajó motorját, hogy a folyó túloldalára a $B$ ponthoz legközelebb érkezzünk?

Megoldás. Legyen $C$ az a pont a folyónak az $A$ pontot tartalmazó partján, ahová az $A$ pontban elengedett kis fadarabot a folyó 1 másodperc alatt sodorja. Világos, hogy $C$ az $A$ ponttól a folyás irányában $1\cdot w=w$ méter távolságra van.

A folyó sebessége $w=$. A csúszka mérete adja.
Az ábrán a vektora sötétkék.
A folyó szélessége , de most ez nem számít.
A partvonalak színe világos kék.
A csónak kormányának iránya fok.
Az evezés gyorsasága $v=$ rögzített.
A csónak haladásának vektora a képen piros.
A csónak kikötési helye a túloldalon $E$.
A csónak útját zöld vonal jelzi.

A csónak $\bf u$ sebességvektorát (a képen zöld) az evezési sebesség és a csónak kormányának iránya által meghatározott vektor (piros a képen) és a folyó sebességvektorának (sötétkék a képen) összege adja.

Világos, hogy az $A$ pontba helyzett $\bf u$ vektor $V$ végpontja a $C$ középpontú $v$ sugarú körre esik. A feladat az, hogy az $AV$ egyenes minél kisebb szöget zárjon be az $AB$ egyenessel.

Ha az $\overline{AB}$ szakasz nem metszi $C$ középpontú kört, akkor a legkisebb szöget a körnek az $A$ ponton átmenő érintője határozza meg.


© 2014 Kurusa Árpád