dr. Kurusa Árpád
matematikus, egyetemi docens
|
Geometriai Tanszék Bolyai Intézet Természettudományi és Informatikai Kar Szegedi Tudományegyetem |
A Schönflies-tétel azt állítja, hogy ha $C \subset \mathbb R^2$ egy egyszerű zárt görbe a síkon, vagyis egy Jordan-görbe, akkor van olyan $f\colon\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ homeomorfizmus, melyre $f(C)$ az egységkör.
Amennyiben a vizsgált görbe differenciálható, akkor diffeomorfizmusok folytonos $f_{\varepsilon}$ görbéje köti az $f$ leképezést az identikus leképezéshez úgy, hogy $f_{\varepsilon}(C)$ minden $\varepsilon$ esetén Jordan-görbe.
Arra a kérdésre, hogy milyen a diffeomorfizmusok halmazában ez a görbe, a következő a válasz.
Grayson-tétel(1988): Ha egy zárt, nem önátmetsző görbe úgy mozog, hogy pontjainak sebességvektora minden pillanatban a görbe ottani görbületével egyenlő, akkor a mozgás közben sosem lesz önátmetsző és véges időn belül konvexé válik.
Itt egy animáció arról, hogyan megy ez a gyakorlatban.
Jobb-klikk (vagy kontrol-klikk) az animáción (ennek forrása [1]) lehetővé teszi annak megállítását, folytatását, újraindítását és nagyítását valamint kicsinyítését.
Örömmel fogadnék egy hallgatót, hogy ezt az animációt JS canvas-ban alakítható görbével reprodukáljuk.
A görberövidítés tárgykörében további animációk találhatók:
[1] http://www.math.wisc.edu/~angenent/curveshortening/index.html