Kurusa Árpád

Matek-blog

Hogyan alakítsunk egy zárt görbét körré!

A Schönflies-tétel azt állítja, hogy ha $C \subset \mathbb R^2$ egy egyszerű zárt görbe a síkon, vagyis egy Jordan-görbe, akkor van olyan $f\colon\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ homeomorfizmus, melyre $f(C)$ az egységkör.

Amennyiben a vizsgált görbe differenciálható, akkor diffeomorfizmusok folytonos $f_{\varepsilon}$ görbéje köti az $f$ leképezést az identikus leképezéshez úgy, hogy $f_{\varepsilon}(C)$ minden $\varepsilon$ esetén Jordan-görbe.

Arra a kérdésre, hogy milyen a diffeomorfizmusok halmazában ez a görbe, a következő a válasz.

Grayson-tétel(1988): Ha egy zárt, nem önátmetsző görbe úgy mozog, hogy pontjainak sebességvektora minden pillanatban a görbe ottani görbületével egyenlő, akkor a mozgás közben sosem lesz önátmetsző és véges időn belül konvexé válik.

Itt egy animáció arról, hogyan megy ez a gyakorlatban.

Jobb-klikk (vagy kontrol-klikk) az animáción (ennek forrása [1]) lehetővé teszi annak megállítását, folytatását, újraindítását és nagyítását valamint kicsinyítését.

Örömmel fogadnék egy hallgatót, hogy ezt az animációt JS canvas-ban alakítható görbével reprodukáljuk.

A görberövidítés tárgykörében további animációk találhatók:

References

[1] http://www.math.wisc.edu/~angenent/curveshortening/index.html


© 2014 Kurusa Árpád