Kurusa Árpád

Matek-blog

A π napja

A $\pi$ napján az $e$ számot is ünnepelnünk kellene.

Leonhard Euler (1707–1783) gyönyörű

$ e^{i\pi}+1=0 $

formulája mindent elmond, hiszen az van mögötte, hogy $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ minden valós $\varphi$ esetén.

Amikor David Wells 1988-ban megszavaztatta a Mathematical Intelligencer néhány olvasóját, hogy melyik a legszebb formula, Euler fenti eredménye vitte el a pálmát, de a $\pi$ még az ötödik és a tizennegyedik formulában is szerepet játszik:

$$ \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots \tag{5} $$ $$ \frac{\pi-3}{4}=\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5\cdot6}+\cdots+\frac{1}{2k\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)}+\cdots \tag{14} $$

(A $\pi$ még a nyolcadik állításban is megjelenik, de az nem egy formula, "mindössze" annak megállapítása, hogy a $\pi$ transzcendentális.)

Euler érdeme az a végtelen szorzat, amiben a $\pi$ a kulcselem:

$$ \sin x= x\cdot\left(1-\frac{(x/\pi)^2}{1}\right)\cdot\left(1-\frac{(x/\pi)^2}{4}\right)\cdots\left(1-\frac{(x/\pi)^2}{k^2}\right)\cdots $$

Bailey, Borwein és Plouffe bizonyította, hogy

$$ \pi=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac4{8k+1} - \frac2{8k+4} - \frac1{8k+5} - \frac1{8k+6}\right)16^{-k}, $$

amire alapozva igazolták, hogy az $n$-edik számjegy a $\pi$ hexadecimális (16-os számrendszer) felírásában az $n$-től lineárisan függő időben, korábbi számjegyek kiszámolása nélkül kiszámítható.

 

 


© 2014 Kurusa Árpád