Kurusa Árpád

Matek-blog

Prím-háromszög

Középiskolásként vizsgáltam a prímeket, és ez egy mindmáig emlékezetes észrevételem volt.

Egy sorozat differencia-háromszögét úgy kapjuk, hogy felírjuk a sorozat elemeit egy négyzethálós papír egy sorának minden második négyzetébe, majd minden olyan négyzetbe beírjuk az adott négyzettől észak-kelet és észak-nyugat irányban egy-egy lépésre lévő számok különbségének abszolút értékét, ahol e két fentebbi számot már kiszámoltuk.

Egy számtani sorozat esetében nem izgalmas a differencia-háromszög, hiszen már a második sor minden eleme nulla. Egy $q$ természetes szám hatványait tartalmazó geometriai sorozat esetében már jóval bonyolultabb helyzet mutatkozik, de kiszámolhatjuk, hogy az $n$-edik sor $k$-adik $e_{n,k}$ eleme $$ e_{n,k} =\sum_{i=k}^{k+n}(-1)^{k+n-i}q^{i}{n\choose i-k} =\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}q^{j+k}{n\choose j} =q^k(q-1)^{n}. $$ Ezen háromszög elejét mutatja a $q=3$ esetén az alábbi táblázat:

1 3 9 27 81 243 729 ... ... 2 6 18 54 162 486 ... ... 4 12 36 108 324 ... ... 8 24 72 216 ... ... 16 48 144 ... ... 32 96 ... ... 64 ... ... ... ... ...

A prímek differencia-háromszögének elejét mutatja az alábbi táblázat:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 ... ... 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 ... ... 1 0 2 2 2 2 2 2 4 ... ... 1 2 0 0 0 0 0 2 ... ... 1 2 0 0 0 0 2 ... ... 1 2 0 0 0 2 ... ... 1 2 0 0 2 ... ... 1 2 0 2 ... ... 1 2 2 ... ... 1 0 ... ... 1 ... ... ... ... ...

Ami ebben érdekes, az az, hogy a baloldali átló minden eleme 1! Ennek sokkal alaposabb ellenőrzésére készítettem egy számítógépes programot Javaban (ez az ellenőrzést immár az első 7048220 prímre -- ez a prím a 123847351-- mutatja ezen megfigyelés teljesülését) ami megalapozta az először 1978-ben megfogalmazott sejtésemet:

A prímekből alkotott fenti táblázat balszélső átlójának minden eleme 1!

Persze más sorozatokra is vizsgálható ugyanez a konstrukció. Példának okáért a kettő $2^n$ hatványainak sorozata is olyan, amelyre a baloldali átló csupa egyesből áll. Ezt mutatja az alábbi táblázat:

1 2 4 8 16 32 64 128 ... ... 1 2 4 8 16 32 64 ... ... 1 2 4 8 16 32 ... ... 1 2 4 8 16 ... ... 1 2 4 8 ... ... 1 2 4 ... ... 1 2 ... ... 1 ... ... ... ... ...

Kiderült azonban a "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" segítségével, hogy ezt az észrevételt 1878-ban már megtette Proth, aki egy hibás bizonyítást is adott rá, majd 1958-nak Norman O. Gilbreath is rátalált erre a táblázatra. Ma sincs bizonyítva, viszont 1993-ban Andrew Odlyzko nem talált ellenpéldát 10,000,000,000,000-nál kisebb prímekre (ez 346,065,536,839 sor)!

Kapcsolódó oldalak

Keresés: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Találat: The Prime Pages Glossary
Andrew Odlyzko: Iterated absolute values of differences of consecutive primes, Math. Comp., 61 (1993), 373--380.


© 2014 Kurusa Árpád