Kurusa Árpád

Matek-blog

Láncgörbéről újra

A kötélgörbe egy újabb jellemzése kapcsán.

A Mathematics Magazine 2010 februári számában találtam az alábbi meglepően egyszerű jellemzést. (E. Parker: A Property Characterizing the Catenary, Math. Mag. 83 (2010), 63-64. DOI: 10.4169/002557010X485120)

Olyan $f$ függvényt keresünk, melynek grafikonja teljesíti, hogy

bármely íve alatti terület nagysága arányos az ív hosszával.

Egy ilyen függvény esetében van olyan $h>0$ konstans, hogy $$ \int_a^bf(x)dx=t(a,b)=h\cdot l(a,b)=h\int_a^b\sqrt{\dot f^2(x)+1}dx $$ az $f$ függvény $\cal E$ értelmezési tartományának bármely $[a,b]$ intervallumában. Egyenletünk pontosan akkor teljesül, ha $$ f^2(x)=h^2(\dot f^2(x)+1) $$ minden $x\in{\cal E}$ esetén.

Éppen ez az egyenlet határozza meg a láncgörbét (=kötélgörbét) a cikkemben (Á. Kurusa: Kötélgörbe, avagy miért hasonlítanak egymásra a kupolák?, Polygon 18:1 (2009), 33-45.)!

Bár a hivatkozott cikkben a láncgörbe explicit alakja is meghatározásra került, a teljesség kedvéért íme újra:

Egyenletünk szerint $f(x)\ge h$. Ha $f\equiv h$, akkor $\dot f\equiv0$. A $h>0$ esetben viszont azt látjuk, hogy $$ \frac{\pm1}{h}=\frac{(f(x)/h)^{\prime}}{\sqrt{(f(x)/h)^2-1}}=\left(\mathop{\rm arccosh}(f(x)/h)\right)^{\prime} ,$$ amiért $h\cosh(c_1\pm x/h)=f(x)$ valamilyen $c_1$ konstansra, vagyis $$ h\cosh\left(\frac{x-c}{h}\right)=f(x) ,$$ ahol $c$ tetszőleges konstans.

Az alábbi láncgörbe-animációt Nagy Gábor P. programozta 2012-ben.







A lánc teljes helyzeti energiája:--
A gradiensek normáinak maximuma: --.

A cikkcakkok száma: 20$\in\{2,\ldots,50\}$


A lánc hossza a felfüggesztések távolságához képest:
180%$\in\{120\%,\ldots,300\%\}$


A helyzeti energia minimális változása:
(Az animáció leáll, ha a változás ennél kisebb.)

A láncgörbe mutatása:

További információk a Wikipedia láncgörbe oldalán.


© 2014 Kurusa Árpád