szeptember 9. Permutációk
A permutáció fogalma; permutációk szorzása és hatványozása; idegen permutációk felcserélhetősége; felbontás idegen ciklusok szorzatára; inverziók; páros és páratlan permutációk; a szimmetrikus és az alternáló csoport; felbontás transzpozíciók szorzatára.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 6–10 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: szeptember 15. (szerda) 13 óra.
- Játsszon ezzel a „játékkal”, és figyelje meg, hogy a pontokat mozgatva hogyan változnak a $\rho$ és $A/\rho$ halmazok. A megfigyelt szabályszerűségek alapján találja ki, hogy milyen halmazokat kell írni a kérdőjelek helyére. Ügyeljen a kerek és kapcsos zárójelek megfelelő használatára.
- Ha $\rho=\big\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,c),(c,a),(b,e),(e,b)\big\}$, akkor $A/\rho = ?$
- Ha $\rho=\big\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(e,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c)\big\}$, akkor $A/\rho = ?$
- Ha $A/\rho = \big\{ \{a,c\}, \{b\}, \{d\}, \{e\} \big\}$, akkor $\rho=?$
- Ha $A/\rho = \big\{ \{a,b,c\}, \{d\}, \{e\} \big\}$, akkor $\rho=?$
A megoldást CooSpace-en kell beküldeni. Határidő: szeptember 15. (szerda) 13 óra.
|
szeptember 16. Ekvivalenciarelációk
Permutáció transzpozíciók szorzatára való felbontásának hossza; a páros és páratlan permutációk száma. Ekvivalenciarelációk és osztályozások; leképezés magja.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 17–21 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: szeptember 22. (szerda) 13 óra.
- Játsszon a „kivonós” játékkal, és írja le a megfigyeléseit. Néhány kérdés, amire érdemes lehet fókuszálni: Milyen számok kerülnek fel a táblára? Melyik a legkisebb szám, ami fel lesz írva a táblára? Hány szám kerül fel a táblára? Melyik játékosnak van nyerő stratégiája, és mi az? (Persze a válaszok mindig az előre felírt két számtól függnek.) Beküldendő CooSpace-en. Határidő: szeptember 22. (szerda) 13 óra.
|
szeptember 23. Részbenrendezések
Ekvivalenciák a számfogalom felépítésében; részbenrendezett halmazok; minimális, maximális, legkisebb és legnagyobb elemek; legnagyobb közös osztó; euklideszi algoritmus.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 25–28 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: szeptember 29. (szerda) 13 óra.
- Tudjuk, hogy $4 \cdot 150 - 11 \cdot 54 = 6$ (kijön az euklideszi algoritmusból). Olvassa le ebből az alábbi egyenletek egy-egy megoldását:
- $150x+11y=6$
- $150x-11y=12$
- $11x-150y=18$
- $11x+150y=24$
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: szeptember 29. (szerda) 13 óra.
|
szeptember 30. Kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenletek
Euklidész lemmája; a kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet megoldhatóságának kritériuma és általános megoldása; a kongruenciareláció definíciója.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 31–35 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: október 6. (szerda) 13 óra.
- Ebben a „játékban” az egész számokat lehet kiszínezni és sorokba tördelni. Kísérletezzen vele, és figyelje meg, hogy a színminta hosszától (jelölje ezt $n$) és a sorok hosszától (jelölje ezt $m$) függően hogyan alakul az ábra. Hány különböző szín lép fel egy oszlopban? (A válasz egyetlen képlettel leírható $n$ és $m$ függvényében, de bármilyen más megfigyelést is be lehet küldeni, bizonyítás, indoklás nélkül is.)
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: október 6. (szerda) 13 óra.
|
október 7. Kongruenciareláció, lineáris kongruenciák
A kongruenciareláció tulajdonságai; lineáris kongruencia megoldhatóságának kritériuma és általános megoldása.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 39–43 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: október 13. (szerda) 13 óra.
|
október 14. Lineáris kongruenciarendszerek + első zh
Lineáris kongruenciarendszer megoldhatóságának kritériuma és általános megoldása.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 49–52 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: október 20. (szerda) 13 óra.
- Ismételje át és írja le a gyűrű és a test definícióját. Ne utaljon a (fél)csoport definíciójára, hanem írjon ki minden műveleti tulajdonságot. Az $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ számhalmazok közül melyik alkot gyűrűt, illetve testet (a szokásos műveletekkel)?
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: október 20. (szerda) 13 óra.
|
október 21. Kínai maradéktétel, maradékosztályok
Kínai maradéktétel; maradékosztályok; teljes maradékrendszerek; műveletek maradékosztályokkal; multiplikatív inverz; maradékosztály-gyűrűk és maradékosztálytestek.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból az 56–59 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: október 27. (szerda) 13 óra.
- Hány olyan szám van 1-től 7000-ig, ami relatív prím 7000-hez? Útmutatás: Egy szám akkor és csak akkor relatív prím 7000-hez, ha nem osztható se 2-vel, se 5-tel, se 7-tel (miért?). Tehát a választ megkaphatjuk úgy, hogy az $U = \{ 1,2,\dots,7000\}$ univerzumból kirostáljuk az alábbi három halmaz elemeit a szita-formula segítségével:
\begin{align}
A_1 &= \{ a \in U : 2 \mid a\}\\
A_2 &= \{ a \in U : 5 \mid a\}\\
A_3 &= \{ a \in U : 7 \mid a\}
\end{align}
Egy kis segítség található ebben a videóban.
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: október 27. (szerda) 13 óra.
|
október 28. Az Euler-féle $\varphi$ függvény
Wilson tétele; az Euler-féle $\varphi$ függvény definíciója és képlete; az Euler–Fermat-tétel.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból az 62–65 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: november 3. (szerda) 13 óra.
- Gondolatban egyszerűsítsük az alábbi törteket (amennyire csak lehet):
$$ \frac{1}{63},\ \frac{2}{63},\ \frac{3}{63}, \ldots, \frac{62}{63},\ \frac{63}{63}.$$
Milyen nevezők fognak fellépni az egyszerűsített törtekben, és melyik hányszor lép fel?
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: november 3. (szerda) 13 óra.
|
november 4. Számelméleti függvények
Számelméleti függvények; nevezetes példák (osztók száma és összege); gyenge multiplikativitás; tökéletes számok; összegzési függvény; az Euler-féle $\varphi$ függvény összegzési függvénye.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 70–74 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: november 10. (szerda) 13 óra.
- Oldja meg az alábbi paraméteres lineáris egyenletrendszert. Milyen szabály szerint vannak felírva az egyenletek? Milyen szabályosságot lehet megfigyelni a megoldásokban?
$$
\begin{array}{cccccccccccc}
x_1 & & & & & & & & & & & = a_1\\
x_1 & + & x_2 & & & & & & & & & = a_2\\
x_1 & & & + & x_3 & & & & & & & = a_3\\
x_1 & + & x_2 & & & + & x_4 & & & & & = a_4\\
x_1 & & & & & & & + & x_5 & & & = a_5\\
x_1 & + & x_2 & + & x_3 & & & & & + & x_6 & = a_6\\
\end{array}
$$
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: november 10. (szerda) 13 óra.
|
november 11. Összegzési függvény, konvolúció
Számelméleti függvény összegzési és megfordítási függvénye; konvolúció; Möbius-féle $\mu$ függvény; Möbius-féle inverziós formula; gyengén multiplikatív számelméleti függvények konvolúciója, összegzési és megfordítási függvénye is gyengén multiplikatív.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 77–80 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: november 17. (szerda) 13 óra.
- Ismételje át a test feletti polinomokkal kapcsolatban a következőket: polinom és polinomfüggvény, oszthatóság, asszociáltság, egységek, legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös, maradékos osztás, euklideszi algoritmus.
Ezután számítsa ki euklideszi algoritmussal az alábbi $f$ és $g$ polinomok legnagyobb közös osztóját, és adjon meg olyan $u,v \in \mathbb{R}[x]$ polinomokat, amelyekre $fu+gv = \operatorname*{lnko}(f,g)$.
$$
f=x^4+x^3+x^2-1, \qquad g=x^3+1
$$
Segít a jegyzetben az 5.17. Példa, ez a videó, valamint Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala (lásd a Polinomok: lnko című feladatot).
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: november 17. (szerda) 13 óra.
|
november 18. A polinomok számelmélete
Kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet, kongruenciareláció, lineáris kongruencia, maradékosztályok test feletti polinomgyűrűben; polinomgyűrű maradékosztályteste; irreducibilis polinomok $\mathbb{Z}_p$ felett.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 86–89 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: november 24. (szerda) 13 óra.
- Határozza meg a Viète-formulák segítségével (a gyökök kiszámítása nélkül) a $3x^3+6x^2+24x+18$ polinom gyökeinek négyzetösszegét.
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: november 24. (szerda) 13 óra.
|
november 25. Irreducibilis polinomok a racionális számtest felett
Racionális törtek felbontása elemi törtek összegére; Rolle(?)-tétel; Schönemann–Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium; Viète-formulák; többhatározatlanú polinomok; szimmetrikus polinomok; elemi szimmetrikus polinomok.
Tananyagok:
Házi feladatok:
- A feladatsorból a 94–99 feladatok közül egyet kell beküldeni CooSpace-en. Határidő: december 1. (szerda) 13 óra.
- Tekintsük a következő két állítást tetszőleges $U$ és $V$ természetes számok esetén:
- (A) $U$ is és $V$ is négyzetszám
- (B) $U \cdot V$ négyzetszám
Az (A)$\implies$(B) és (B)$\implies$(A) következtetések közül az egyik helyes, a másik nem.
Melyik a helyes a kettő közül?
Amelyik helyes, azt bizonyítsa be, amelyik nem, arra adjon ellenpéldát.
Bizonyítsa be, hogy ha feltesszük, hogy $U$ és $V$ relatív prímek, akkor igaz a másik következtetés is.
Beküldendő CooSpace-en. Határidő: december 1. (szerda) 13 óra.
|
december 2. A szimmetrikus polinomok alaptétele; hatványösszegek
A szimmetrikus polinomok alaptétele; polinom diszkriminánsa; algebrai és transzcendens számok; pitagoraszi számhármasok; Fermat-féle kétnégyzetszám-tétel; Waring-problémakör.
Tananyagok:
|
december 9. Prímszámok, titkosírások + második zh
A prímszámok eloszlásával kapcsolatos tételek; titkosírások.
Tananyagok:
|