február 16. Peano-axiómák, a természetes számok összeadása és szorzása.
Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás és szorzás definíciója és tulajdonságai.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy $2\cdot 2=4$ (fel szabad használni, hogy $2+2=4$).
- Bizonyítsa be, hogy $1+n=n'$ minden $n$ természetes számra.
- Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ halmaz félgyűrűt alkot az $x+y$ és $\min(x,y)$ műveletekkel. Melyik művelet játssza az összeadás, és melyik a szorzás szerepét? Mi az additív egységelem és mi a multiplikatív egységelem?
|
február 23.
A természetes számok rendezett félgyűrűje, az $(\mathbb{N}_0;0,\sigma)$ struktúra egyértelműsége.
Művelet és részbenrendezés kompatibilitásának ekvivalens definíciói, rendezés $\mathbb{N}_0$-on, az $(\mathbb{N}_0;+,\cdot,\leq)$ rendezett félgyűrű. Sorozat fogalma, sorozat megadása rekurzióval, a másodrendű Peano-axiómarendszer modelljének unicitása.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy ha $2a^2=b^2$ teljesül valamilyen $a,b\in\mathbb{N}$ esetén, akkor léteznek olyan $a_1\lt a$ és $b_1\lt b$ nemnulla természetes számok, amelyekre $2a_1^2=b_1^2$. (Ebből következik, hogy $\sqrt{2}$ nem racionális szám.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (INJ) axiómákat, de nem elégíti ki a (TI) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki az (INJ) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti az (INJ) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki a (0) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
- Győzze le a hidrát!
|