Hiperkomplex számok
A komplex számokkal kapcsolatos tudnivalókat csak röviden, és bizonyítások nélkül (vagy csak vázlatos bizonyításokkal) foglaljuk össze, mert ezt mindenki tanulta már. Ami esetleg újdonság lehet, az a komplex számok számpárokkal való bevezetése, ahol nem kell „hinni” abban, hogy létezik olyan $i$-vel jelölt „valami”, aminek a négyzete $-1$, mert ezt az elemet megkonstruáljuk. Ez a számpáros felépítés hasonlít az egész számok és a racionális számok konstrukciójára, de egyszerűbb azoknál, mert itt nem kell semmiféle kongruenciával faktorizálni.
A komplex számok után hasonló, de kissé fura „számokkal” foglalkozunk, és bebizonyítjuk, hogy izomorfia erejéig csak háromféleképpen lehet a kétdimenziós valós vektorokon (a sík pontjain) olyan szorzást definiálni, hogy a megszokott műveleti tulajdonságoknak legalább egy része érvényben maradjon.
Komplex számok
Definiáljuk a valós számpárok halmazán az összeadás és a szorzás műveletét a
következőképpen:
$$
\begin{align*}
(a,b) +(c,d) & :=(a+c,b+d)
;\\
(a,b) \cdot(c,d) & :=(ac-bd,ad+bc)
.
\end{align*}
$$
A fenti műveletekkel $(\mathbb{R}^{2};+,\cdot) $ test.
Az összeadást komponensenként végezzük, ezért világos, hogy $(\mathbb{R}^{2};+)$ Abel-csoport, az additív egységelem $(0,0)$, az $(a,b)$ elem additív inverze $(-a,-b)$. A szorzás kommutativitása is világos, az asszociativitása sem nehéz, de némi számolást igényel. A multiplikatív egységelem $(1,0)$, az $(a,b)$ elem multiplikatív inverzének meghatározásához pedig az $(ax-by,bx+ay)=(1,0)$ egyenletet kell megoldani. Ez egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert ad, amit célszerű a Cramer-szabállyal megoldani. Azt kapjuk, hogy $a^{2}+b^{2}\neq 0$ esetén van megoldás, és a megoldás egyértelmű: $$ x= \frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \quad y=\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}.$$ Tehát $(0,0)$ kivételével minden elemnek van multiplikatív inverze. Ezután már csak a disztributivitást kell igazolni, ami megint csak egy „csak fel kell írni és kijön” típusú számolás.
Az $(\mathbb{R}^{2};+,\cdot) $ test a komplex számok teste, amit ezentúl $\mathbb{C}$-vel jelölünk, elemeit pedig komplex számoknak nevezzük.
Az alábbi leképezés beágyazza a valós számok testét az $(\mathbb{R}^{2};+,\cdot) $ testbe:
$$
\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\,a\mapsto(a,0) .
$$
A fenti beágyazásnak köszönhetően azonosíthatjuk az $(a,0)$ komplex számot az $a$ valós számmal. Így a valós számtest részteste lesz a komplex számtestnek.
A $(0,1)$ komplex szám a képzetes egység, amit $i$ jelöl a továbbiakban.
A képzetes egység négyzete: $i^{2}=-1$.
A szorzás definícióját és a beágyazás szerinti $-1=(-1,0)$ azonosítást használjuk:
$$i^2= i\cdot i = (0,1) \cdot (0,1) = (0\cdot0-1\cdot1,0\cdot1+1\cdot0) = (-1,0) = -1.$$
Minden komplex szám előáll, mégpedig egyértelmű módon,
$x+yi~(x,y\in\mathbb{R})$ alakban.
Számítsuk ki az $x+yi$ komplex számot:
$$x+yi = (x,0) + (y,0)\cdot(0,1) = (x,0) + (y \cdot 0 - 0 \cdot 1, y\cdot1 + 0 \cdot 0) = (x,0) + (0,y) = (x,y).$$
Innen világos, hogy tetszőleges $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ esetén $(a,b)=x+yi$ teljesülni fog $x=a$ és $y=b$ esetén (és csak akkor).
A $z=(a,b) $ komplex szám $a+bi$ alakban való felírását $z$ kanonikus alakjának, az $a$ valós számot $z$
valós részének (jelölése: $\operatorname{Re}z$), a $b$ valós számot $z$ képzetes részének (jelölése: $\operatorname{Im}z$) nevezzük.
Ezután a komplex számokat nem valós számokból álló számpárokként, hanem $a+bi$
alakú formális kifejezésekként kezelhetjük.
A szorzás és a reciprokképzés így fest kanonikus alakban:
$$
\begin{gather*}
(a+bi) \cdot(c+di) =ac+adi+bci+bdi^{2}=(
ac-bd) +(ad+bc) i;\\
\frac{1}{a+bi}=\frac{1}{a+bi}\cdot\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2}
}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}i\quad\text{(ha }a+bi\neq
0\text{).}
\end{gather*}
$$
A komplex számok teste nem elrendezhető, azaz nincs a $\mathbb{C}$ halmazon
olyan lineáris rendezés, amellyel rendezett testet alkotna.
A rendezett testeket karakterizáló
tételből rögtön következik az állítás, hiszen $i^{2}=-1$. De a pozitivitási tartományok tulajdonságaiból közvetlenül is levezethető (HF).
A konjugált, abszolút érték, argumentum fogalmát, a trigonometrikus alakot és a trigonometrikus alakban való számolást (szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás egységgyökök) nem részletezzük.
A következő két tétel a komplex számok definiálására két további lehetőséget ad:
valós polinomok maradékosztályaival illetve $2\times 2$-es valós mátrixokkal is bevezethetjük őket.
A komplex számok teste izomorf az $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ maradékosztálytesttel.
Az $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ maradékosztálytest minden eleme egyértelműen felírható $\overline{a+bx} = \overline{a}+\overline{b}\cdot\overline{x} = a+b\cdot\overline{x}$ alakban (itt a konstans polinomok maradékosztályait szokás szerint azonosítottuk a valós számokkal). Nyilván $\overline{x^2+1}=\overline{0}$, azaz $\overline{x^2}=\overline{-1}$, ezért az $\overline{x}$ maradékosztálynak az $i$ komplex számot fogjuk megfeleltetni.
Így kapjuk az alábbi leképezést, amelyről könnyen ellenőrizhető, hogy valóban izomorfizmus:
$$\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \to \mathbb{C}, \quad \overline{a+bx}\mapsto a+bi.$$
A fenti tétel a következő általános testelméleti konstrukció speciális esete.
Legyen $T$ test, $m\in T\left[ x\right] $ irreducibilis $n$-edfokú polinom. Ekkor
$K=T\left[ x\right] /(m) $ olyan test, amelyben az $m$
polinomnak van gyöke, mégpedig $\alpha=\overline{x}$.
Valóban, $m(\alpha)=m(\overline{x})=\overline{m(x)}=\overline{m}=\overline{0}=0$.
A $K$ test minden eleme egyértelműen felírható a következő alakban:
$$
\overline{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}}=a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots
+a_{1}\alpha+a_{0}\quad(a_{n-1},\ldots,a_{0}\in T).
$$
A $K$ testről elég annyit tudni, hogy elemei a fenti „kanonikus alakban” felírhatók, és az $\alpha$ szimbólumra $m(\alpha)=0$ teljesül. Ez a két információ egyértelműen meghatározza a $K$ testet (izomorfia erejéig).
Azt mondjuk, hogy a $K$ test $T$-ből az $m$ polinom egy $\alpha$ gyökének adjungálásával keletkezik: $K=T(\alpha)$, és az ilyen testbővítést egyszerű algebrai bővítésnek nevezzük.
A komplex számtestet tehát a valós számtestből az $m=x^{2}+1$ irreducibilis polinom egy gyökének adjungálásával kapjuk: $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i) .$
Az $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ -b & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixok egy résztestet alkotnak az $\mathbb{R}^{2\times2}$
mátrixgyűrűben, és ez a résztest izomorf a komplex számok testével.
Az egységmátrix skalárszorosai a valós számtesttel izomorf résztestet alkotnak a mátrixgyűrűben, tehát az $a\cdot E = \bigl(\begin{smallmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrixnak az $a$ valós számot fogjuk megfeleltetni.
Az $I:=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete $\bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\bigr) = -1 \cdot E$, ami a $-1$ számnak felel meg, tehát az izomorfizmus $I$-hez $i$-t fogja rendelni. Egy tetszőleges $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ -b & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixot egyértelműen fel tudunk írni $aE+bI$ alakban:
$$\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix} =
a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} =
a \cdot E + b \cdot I.$$
Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:
$$
\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \mapsto a+bi.
$$
A fenti izomorfizmusnál egy komplex szám konjugáltjának a neki megfelelő
mátrix transzponáltja felel meg, az abszolút értéknek pedig a determináns négyzetgyöke.
Tudjuk, hogy az $e^{i\varphi}=\operatorname{cis}\varphi=\cos\varphi+i\sin\varphi$ komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon az origó körüli $\varphi$ szögú forgatást adja. Ezzel összhangban az $e^{i\varphi}$ komplex számhoz tartozó $\bigl(\begin{smallmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció szintén az origó körüli $\varphi$ szögú forgatás.
Study-féle számok
Mi lenne, ha azt mondanánk, hogy $i^2$ ne $-1$ legyen, hanem $0$? Ezt tekinthetjük szükségtelen bővítésnek, mert a valós számtestben már van olyan elem, aminek a négyzete nulla, de sebaj, most lesz még egy (sőt több!). A kapott struktúra ezért nem lesz test (még integritástartomány sem), csak gyűrű. Így kapjuk a Study-féle számokat, amelyeket a komplex számokhoz hasonlóan számpárokkal lehet precízen bevezetni, de az egyszerűség kedvéért ettől eltekintünk, és mindját „kanonikus alakban” írjuk fel őket. Itt $i$ helyett az $\varepsilon$ szimbólumot használjuk. (Figyelem: ez nem ugyanaz, mint a nemarkhimédeszi testeknél használt $\varepsilon$! Ott volt egy lineáris rendezésünk, és $\varepsilon$ olyan pozitív elemet jelölt, ami ebben a rendezésben olyan kicsi, hogy kisebb minden pozitív racionális számnál. Most nincs rendezésünk, de ennek ellenére bizonyos szempontból helyénvaló az az intuíció, hogy $\varepsilon$ nagyon kicsi elem: olyan kicsi, hogy a négyzete már nulla. Gondoljunk például egy hatványsorra, amelyből az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a másod- és magasabb fokú tagokat, mert azok már elhanyagolhatóan kicsik.)
A Study-féle számok (más néven parabolikus komplex számok vagy duális számok) olyan $a+b\varepsilon$ alakú
formális kifejezések, ahol $a$ és $b$ valós számok, $\varepsilon$ pedig egy olyan szimbólum (nem eleme a valós számtestnek), amelyre $\varepsilon^{2}=0$. Az összeadást és a szorzást természetes módon értelmezzük:
$$
\begin{align*}
(a+b\varepsilon) +(c+d\varepsilon) & =(a+c) +(b+d) \varepsilon,\\
(a+b\varepsilon) \cdot(c+d\varepsilon) & =ac+(ad+bc) \varepsilon.
\end{align*}
$$
A Study-féle számok kommutatív egységelemes gyűrűt alkotnak.
Egyszerű ellenőrizni a szükséges tulajdonságokat, ezért nem részletezzük.
A hatványozás sokkal egyszerűbb, mint a komplex számoknál:
$(a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon$ (HF).
Ez speciális esete a következőnek: tetszőleges $f\in\mathbb{R}[x]$ polinomra
$f(a+b\varepsilon) =f(a) +f^{\prime}(a)b\varepsilon$.
Ez a képlet nemcsak polinomokra, hanem analitikus függvényekre is érvényes (amelyeket a Taylor-sorfejtés segítségével lehet kiterjeszteni a Study-féle számokra). Ezen alapul a Study-féle számok alkalmazása az
automatikus differenciálásban.
A Study-féle számokra is adunk egy polinomos és egy mátrixos konstrukciót.
A Study-féle számok gyűrűje izomorf az $\mathbb{R}[x]/(x^{2})$ maradékosztály-gyűrűvel.
A bizonyítás teljesen analóg a megfelelő
komplex számos tétel bizonyításával.
Itt $\overline{x}^2=0$, tehát a $\overline{x}$-nak fogjuk $\varepsilon$-t megfeleltetni, és így a következő izomorfizmust kapjuk:
$$
\overline{a+bx}\mapsto a+b\varepsilon.
$$
Mivel $x^2$ nem irreducibilis $\mathbb{R}$ felett, az $\mathbb{R}[x]/(x^{2})$ maradékosztály-gyűrű nem test;
ez is egy lehetséges magyarázat arra, hogy a Study-féle számok miért nem alkotnak testet.
Az $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixok egy részgyűrűt alkotnak az $\mathbb{R}^{2\times2}$
mátrixgyűrűben, és ez a részgyűrű izomorf a Study-féle számok gyűrűjével.
Most is az analóg
komplex számos tétel bizonyítását imitáljuk.
A $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete $0$, ő fog $\varepsilon$-nak megfelelni. Egy tetszőleges $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixot a következőképpen bonthatunk fel:
$$\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ 0& 0 \end{pmatrix} =
a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} .$$
Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:
$$
\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a \end{pmatrix} \mapsto a+b\varepsilon.
$$
A Study-féle számok
Eduard Study német matematikusról kapták a nevüket, aki kitérő egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetének leírására használta őket: ha a két egyenes távolsága $d$, az általuk bezárt szög pedig $\vartheta$, akkor a $\vartheta + d \varepsilon$ Study-féle szám írja le a helyzetüket.
Hiperbolikus komplex számok
Most azt nézzük meg, hogy milyen „számokat” kapunk, ha $i^2$ értéke $1$ (itt $i$ helyett a $j$ jelölést használjuk). Mivel $\mathbb{R}$-ben van már két olyan elem is, aminek a négyzete $1$, a kapott bővítés megint csak gyűrű lesz, nem test.
A hiperbolikus komplex számok (más néven hasított komplex számok vagy kettős számok) olyan $a+bj$ alakú formális
kifejezések, ahol $a$ és $b$ valós számok, $j$ pedig egy olyan szimbólum,
amelyre $j^{2}=1$. Az összeadást és a szorzást természetes módon értelmezzük:
$$
\begin{align*}
(a+bj) +(c+dj) & =(a+c) +(
b+d) j,\\
(a+bj) \cdot(c+dj) & =(ac+bd)
+(ad+bc) j.
\end{align*}
$$
A hiperbolikus komplex számok kommutatív egységelemes gyűrűt alkotnak.
Egyszerű ellenőrizni a szükséges tulajdonságokat, ezért nem részletezzük.
A hiperbolikus komplex számok gyűrűje izomorf az $\mathbb{R}[x]/(x^{2}-1)$ maradékosztály-gyűrűvel.
A megfelelő
komplex számos és
Study-féle számos tételek bizonyítását követjük.
Itt $\overline{x}^2=1$, tehát $\overline{x}$-nak fogjuk $j$-t megfeleltetni, és így a következő izomorfizmust kapjuk:
$$
\overline{a+bx}\mapsto a+bj.
$$
Mivel $x^2-1$ nem irreducibilis $\mathbb{R}$ felett, az $\mathbb{R}[x]/(x^{2}-1)$ maradékosztály-gyűrű nem test;
ez is egy lehetséges magyarázat arra, hogy a hiperbolikus komplex számok miért nem alkotnak testet.
Az $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixok egy részgyűrűt alkotnak az $\mathbb{R}^{2\times2}$
mátrixgyűrűben, és ez a részgyűrű izomorf a hiperbolikus komplex számok gyűrűjével.
A megfelelő
komplex számos és
Study-féle számos tételek bizonyítását másoljuk.
A $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete $E$, ő fog $j$-nek megfelelni. Egy tetszőleges $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$
alakú mátrixot a követketőképpen bonthatunk fel:
$$\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ b& 0 \end{pmatrix} =
a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} .$$
Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:
$$
\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \mapsto a+bj.
$$
Nem általánosítottunk mindent a komplex számokról a Study-féle számokra és a hiperbolikus komplex számokra. Íme néhány gondolkoznivaló ezzel kapcsolatban:
- Hogyan lehetne definiálni a konjugálást a Study-féle, illetve a hiperbolikus számok körében? Rendelkezik-e a konjugált a komplex számoknál megszokott tulajdonságokkal?
- Értelmezzük az „abszolút értéket” a
$\left\vert z\right\vert =\sqrt{\left\vert z\bar{z}\right\vert }$ képlettel.
Milyen tulajdonságai vannak az abszolút értéknek? Hogy néz ki a síkon a
$\big\{ z : |z|^{2}=1\big\}$
halmaz (ami az egységkör megfelelője)?
- Mely számoknak van reciproka, és hogyan lehet azt kiszámolni? (Lehet a komplex számoknál megszokott módon a nevező konjugáltjával bővíteni a törtet?)
- Hány négyzetgyöke ($n$-edik gyöke) van egy számnak, és hogy lehet őket kiszámolni? (HF)
Test feletti algebrák
A komplex számok, a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok is gyűrűt alkotnak, de egyúttal $\mathbb{R}$ feletti kétdimenziós vektorteret is (ennek köszönhetően tudjuk a komplex számokat a Gauss-féle számsíkon ábrázolni; a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok ábrázolásával kapcsolatban lásd pl. a fenti második kérdést).
Az ilyen struktúrákat, amik egyszerre gyűrűk és vektorterek is, algebráknak nevezzük.
Egy $T$ test feletti
asszociatív algebrán (vagy röviden csak
algebrán) olyan $A$ nemüres halmazt értünk, melynek elemeit lehet egymással összeadni,
szorozni és $T$ elemeivel szorozni:
$$
\begin{align*}
+\colon A\times A & \rightarrow A,\,(a,b) \mapsto a+b;\\
\bullet\colon A\times A & \rightarrow A,\,(a,b)
\mapsto a\bullet b;\\
\cdot\colon T\times A & \rightarrow A,\,(\lambda,b)
\mapsto\lambda\cdot a;
\end{align*}
$$
és teljesülnek a következő tulajdonságok:
- $\forall a,b,c\in A\colon \; (a+b) +c=a+(b+c) $
- $\forall a,b\in A\colon \; a+b=b+a$
- $\exists z\in A~\forall a\in A\colon \; a+z=a$
- $\forall a\in A~\exists b\in A\colon \; a+b=z$
- $\forall a,b,c\in A\colon \; (a\bullet b) \bullet c=a\bullet(b\bullet c) $
- $\forall a,b,c\in A\colon \; (a+b) \bullet c=a\bullet c+b\bullet c$
- $\forall a,b,c\in A\colon \; a\bullet(b+c) =a\bullet b+a\bullet c$
- $\forall a,b\in A~\forall\lambda\in T\colon \; \lambda\cdot(a+b) =\lambda\cdot a+\lambda\cdot b$
- $\forall a\in A~\forall\lambda,\mu\in T\colon \; (\lambda+\mu) \cdot a=\lambda\cdot a+\mu\cdot a$
- $\forall a\in A~\forall\lambda,\mu\in T\colon \; (\lambda\mu) \cdot a=\lambda\cdot(\mu\cdot a)$
- $\forall a\in A\colon \; 1\cdot a=a$
- $\forall a,b\in A~\forall\lambda\in T\colon \; \lambda\cdot(a\bullet b) =(\lambda\cdot a) \bullet b=a\bullet(\lambda\cdot b) $
- Az (1)–(7) tulajdonságok azt írják le, hogy $(A;+,\bullet) $ gyűrű. Az additív egységelemet egyelőre $z$ jelöli, hogy megkülönböztessük a $T$ test additív egységelemétől, amit $0$-val szoktunk jelölni. A (11)-es tulajdonságban $1$ a $T$ test multiplikatív egységeleme. Az $(A;+,\bullet) $ gyűrűnek nem feltétlenül létezik multiplikatív egységeleme, és a $\bullet$ művelet kommutativitását sem követeljük meg (ahogy a gyűrű definíciójában sem); de speciális algebrákban ezek persze teljesülhetnek (lásd a következő definíciót). Mint minden gyűrűben, itt is teljesül $a \bullet z = z \bullet a = z$ minden $a \in A$ esetén.
- Az (1)–(4) és (8)–(11) tulajdonságok azt jelentik, hogy $A$ vektorteret alkot $T$ felett ($A$ elemei a vektorok, speciálisan $z$ a nullvektor, $T$ elemei pedig a skalárok).
Mint minden vektortérben, itt is teljesül $\lambda \cdot a = z \iff \lambda=0 \text{ vagy } a = z$ minden $\lambda\in T$ és $a \in A$ esetén.
- A (12) tulajdonság a „hab a tortán”, ami összekapcsolja a kétféle szorzást (vektor skalárral való szorzását és két vektor szorzását).
- A $\cdot$ „művelet” igazából nem művelet, mert két különböző halmazbeli elemet szorzuk össze. (Általában $n$-változós műveleten $A^n \to A$ alakú leképezést értünk.) Emiatt szokás inkább minden $\lambda \in T$ skalárra tekinteni a $\lambda$-való szorzást, mint egyváltozós műveletet: $A \to A, \; a \mapsto \lambda \cdot a$.
- A skalárok összeadását és a vektorok összeadását ugyanúgy jelöltük (ahogy vektortereknél ez szokás), és a skalárok egymással való szorzását (azaz a $T$ testbeli szorzást) is ugyanúgy jelöljük, mint vektor skalárral való szorzását, ráadásul a $\cdot$ jelet is elhagyjuk időnként. A szövegkörnyezetből és a jelölésekből világos lesz, hogy melyikről van szó; pl. $\lambda \cdot \mu = \lambda\mu$ a $\lambda,\mu \in T$ skalárok szorzata, $\lambda \cdot a = \lambda a$ pedig az $a \in A$ vektornak a $\lambda \in T$ skalárral vett szorzata
- Ha a szorzás asszociativitása kivételével minden tulajdonság teljesül, akkor $A$-t nemasszociatív algebrának nevezzük.
- Ha a szorzás kommutatív, akkor $A$-t kommutatív algebrának nevezzük.
- Ha a szorzásra nézve is van egységelem, akkor $A$-t egységelemes algebrának nevezzük.
- Ha $A$-ban nincsenek zérusosztók (azaz minden $a,b\in A$ esetén $a\bullet b=z\implies a=z$ vagy $b=z$), akkor $A$-t zérososztómentes algebrának nevezzük.
- Mivel $A$ vektortér $T$ felett, beszélhetünk a dimenziójáról, és ezt a dimenziót az $A$ algebra rangjának nevezzük.
- Ha $A$-nak csak egy eleme van, akkor triviális algebrának nevezzük.
- Ha $A$ nemtriviális végesrangú egységelemes algebra $\mathbb{R}$ fölött, akkor hiperkomplex rendszernek, elemeit pedig hiperkomplex számoknak nevezzük.
- Minden test $1$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebra saját maga fölött.
- A komplex számok $2$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
- A Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok $2$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
- Az $n\times n$-es valós mátrixok $n\geq2$ esetén $n^{2}$ rangú asszociatív, egységelemes nemkommutatív algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
- A $T$ feletti polinomok végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebrát alkotnak $T$ fölött (egy bázis: $1,x,x^2,\ldots$).
- A folytonos valós függvények végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak $\mathbb{R}$ fölött.
- A differenciálható valós függvények végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak $\mathbb{R}$ fölött.
Az algebra szónak (legalább) három különböző jelentése van. Jelent egyrészt általános értelemben vett algebrai struktúrát, azaz műveletekkel felszerelt nemüres halmazt (pl. félcsoport, csoport, gyűrű, test, vektortér, háló, stb.), jelenti másrészt a matematika egy ágát (ami az algebrai struktúrákkal foglalkozik), és harmadrészt jelenti a most definiált speciális algebrai struktúrafajtát (ami egyszerre gyűrű és vektortér) is.
Az algebra alaptétele kifejezésben nem a második, hanem a harmadik értelemben használjuk: itt a komplex számok $\mathbb{R}$ feletti $2$ rangú algebrájának alaptételéről van szó, nem pedig az algebra tudományának alaptételéről.
A komplex számok algebrája tartalmaz $\mathbb{R}$-rel izomorf résztestet, és hasonló igaz a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok algebrájára. A következő tételben ezt általánosítjuk tetszőleges egységelemes algebrára.
Ha $A$ nemtriviális egységelemes algebra $T$ felett, akkor $A$ tartalmaz $T$-vel (mint saját maga feletti $1$ rangú algebrával) izomorf részalgebrát.
Jelölje $z$ az $A$ algebra additív egységelemét, $e$ pedig a multiplikatív egységelemet. Mivel $A$ nemtriviális, $e\neq z$. A következő leképezés beágyazza $T$-t $A$-ba:
$$
\varphi\colon T\rightarrow A, \; \lambda\mapsto\lambda\cdot e.
$$
Az alábbi négy dolgot kell ellenőriznünk (minden lépésnél gondoljuk meg, hogy az
algebra definíciójában szereplő tucatnyi tulajdonság közül melyiket vagy melyeket használjuk!).
injektivitás
Bármely $\lambda,\mu \in T$ esetén
$\lambda\varphi = \mu\varphi \iff \lambda\cdot e=\mu\cdot e \iff (\lambda-\mu) \cdot e=z$. Mivel $e\neq z$, a
$(\lambda-\mu) \cdot e=z$ egyenlőség csakis $\lambda-\mu=0$ esetén teljesülhet. Ezzel beláttuk, hogy $\lambda\varphi = \mu\varphi \iff\lambda=\mu$.
felcserélhetőség a $+$ művelettel
Bármely $\lambda,\mu \in T$ esetén
$\lambda\varphi + \mu\varphi =\lambda\cdot
e+\mu\cdot e=(\lambda+\mu) \cdot e=(\lambda+\mu)\varphi$.
felcserélhetőség a $\bullet$ művelettel
Bármely $\lambda,\mu \in T$ esetén $\lambda\varphi \bullet \mu\varphi =(\lambda\cdot e) \bullet(\mu\cdot e) =(\lambda \mu) \cdot(e\bullet e) =(\lambda\mu) \cdot e=(\lambda\mu)\varphi$.
felcserélhetőség a $\cdot$ „művelettel”
Bármely $\lambda,\mu \in T$ esetén
$\lambda\cdot \mu\varphi =\lambda\cdot(\mu\cdot e)
=(\lambda\mu) \cdot e=(\lambda\mu)\varphi$.
Ha az algebra szorzása nem is kommutatív, a $\lambda\cdot e$ alakú elemek
akkor is minden elemmel felcserélhetőek:
$
(\lambda\cdot e) \bullet a=\lambda\cdot(e\bullet
a) =\lambda\cdot a=\lambda\cdot(a\bullet e)
=a\bullet(\lambda\cdot e) .
$
Ez azt jelenti, hogy $\varphi(T) \subseteq\mathcal{C}(
A) $, ahol $\mathcal{C}(A) $ jelöli az $A$ algebra
centrumát
:
$
\mathcal{C}(A) =\left\{ c\in A:c\bullet a=a\bullet c\text{
minden }a\in A\text{ esetén}\right\} .
$
Ezentúl csak egységelemes algebrákkal foglalkozunk és az alaptest elemeit
azonosítjuk az előző tételbeli beágyazás melletti képükkel. Tehát úgy
tekintjük, hogy $\lambda\cdot e=\lambda$, így például $e=1\cdot e=1$ és
$z=0\cdot e=0$. Így az alaptest részalgebrája lesz $A$-nak: $T\subseteq A$.
További egyszerűsítésként $a\bullet b$ helyett csak $a\cdot b$-t vagy $ab$-t írunk a továbbiakban.
A szövegkörnyezetből remélhetőleg mindig világos lesz, hogy a háromféle szorzás közül (skalár-skalár, skalár-vektor, vektor-vektor) mikor melyikről van szó.
A következő tételben megmutatjuk, hogy izomorfia erejéig csak az a három $2$ rangú hiperkomplex rendszer létezik, amelyekkel az előző három fejezetben megismerkedtünk.
Minden $2$ rangú hiperkomplex rendszer izomorf a komplex számok, a Study-féle
számok vagy a hiperbolikus komplex számok algebrájával.
Legyen $A$ egy $2$ rangú hiperkomplex rendszer. Ekkor $A$ kétdimenziós
vektortér $\mathbb{R}$ fölött; tehát bármely két lineárisan független vektora
bázist alkot, így például $\{ 1,c \}$ bázis, minden $c \in A\setminus\mathbb{R}$ esetén (miért?).
Ha sikerül a $c$ elemet úgy megválasztani, hogy $c^{2}\in\{-1,0,1\}$ teljesüljön, akkor beláttuk a tétel állítását (ugye?).
Legyen egyelőre $a \in A\setminus\mathbb{R}$ tetszőleges elem; ekkor a fentiek szerint $\{ 1,a \}$ bázis,
tehát $A$ bármely eleme egyértelműen felírható
$\lambda\cdot1+\mu\cdot a=\lambda+\mu a~(\lambda,\mu\in\mathbb{R})$ alakban.
Speciálisan $a^{2}$ is ilyen alakba írható:
$a^{2}=\lambda+\mu a$.
A $b:=a-\frac{\mu}{2}\notin\mathbb{R}$ elemre
$b^{2}=\lambda+\frac{\mu^{2}}{4}=\beta\in\mathbb{R}$, tehát az $\{ 1,b \}$ bázis
már „majdnem” jó.
Három esetet különböztetünk meg $\beta$ előjele szerint.
$\beta=0$
Ha $\beta=0$, akkor nincs semmi teendőnk: $c=b$ jó lesz, és rögtön látszik, hogy $A$
izomorf a Study-féle számok algebrájával a $\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta \varepsilon\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.
$\beta>0$
Ha $\beta>0$, akkor legyen $c=\frac{b}{\sqrt{\beta}}$. Ekkor $c^{2}=1$ (ugye?),
tehát $A$ izomorf a hiperbolikus komplex számok algebrájával a $\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta j\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.
$\beta \lt 0$
Ha $\beta \lt 0$, akkor legyen $c=\frac{b}{\sqrt{\left\vert \beta\right\vert
}}$. Ekkor $c^{2}=-1$, tehát $A$ izomorf a komplex számok algebrájával a $\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta i\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.
Ahogy a bevezetőben említettük, ez a tétel úgy interpretálható, hogy ha „kétdimenziós számokat” akarunk definiálni, akkor lényegében csak a megismert három lehetőség van, és ha azt szeretnénk, hogy számaink testet alkossanak, akkor a komplex számtest az egyetlen jó választás.