A számfogalom felépítése

Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás és szorzás definíciója és tulajdonságai.

Házi feladatok:

• Bizonyítsa be, hogy $1+n=n'$ minden $n$ természetes számra.
• Bizonyítsa be, hogy $2\cdot 2=4$ (fel szabad használni, hogy $2+2=4$).
• Bizonyítsa be, hogy $a \cdot b = 0 \implies a = 0$ vagy $b=0$ tetszőleges $a,b$ természetes számok esetén.

Művelet és részbenrendezés kompatibilitásának ekvivalens definíciói, rendezés $\mathbb{N}_0$-on, az $(\mathbb{N}_0;+,\cdot,\leq)$ rendezett félgyűrű.

Házi feladatok:

• Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ halmaz félgyűrűt alkot az $x+y$ és $\min(x,y)$ műveletekkel. Melyik művelet játssza az összeadás, és melyik a szorzás szerepét? Mi az additív egységelem és mi a multiplikatív egységelem? (A műveletek asszociativitását és kommutativitását nem kell igazolni, de a disztributivitást igen.)
• Bizonyítsa be, hogy ha $2a^2=b^2$ teljesül valamilyen $a,b\in\mathbb{N}$ esetén, akkor léteznek olyan $a_1\lt a$ és $b_1\lt b$ nemnulla természetes számok, amelyekre $2a_1^2=b_1^2$. (Ebből következik, hogy $\sqrt{2}$ nem racionális szám.)
• Győzze le a hidrát!

Sorozat fogalma, sorozat megadása rekurzióval, a másodrendű Peano-axiómarendszer modelljének unicitása és egzisztenciája. Elsőrendű Peano-aritmetika, Gödel nemteljességi tételei, Goodstein-sorozatok, Kirby–Paris-tétel.

Házi feladatok:

• Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (INJ) axiómákat, de nem elégíti ki a (TI) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
• Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti a (0) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki az (INJ) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
• Adjon meg egy véges, illetve egy végtelen $(M;\,\heartsuit,\tau)$ struktúrát, amely kielégíti az (INJ) és (TI) axiómákat, de nem elégíti ki a (0) axiómát. (Ha nincs ilyen véges/végtelen struktúra, akkor indokolja meg, hogy miért nincs.)
• Játsszon ezzel a művelettáblázat-színezővel!

Tarski „high school algebra” problémája és annak megoldása. Kongruencia, faktoralgebra, izomorfizmus, beágyazás. A $\mathbb{Z}:=(\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0;+,\cdot)/\sim$ integritástartomány, $\mathbb{N}_0$ beágyazása $\mathbb{Z}$-be.

Házi feladatok:

• Bizonyítsa be, hogy minden $x,y\in\mathbb{N}$ esetén $$\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^y+\bigl(1+x+x^2\bigr)^y\Bigr)^x\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^x+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^x\Bigr)^y=\Bigl(\bigl(1+x\bigr)^x+\bigl(1+x+x^2\bigr)^x\Bigr)^y\cdot\Bigl(\bigl(1+x^3\bigr)^y+\bigl(1+x^2+x^4\bigr)^y\Bigr)^x.$$
  Egy kis segítség

  Ki kell lépni a természetes számok köréből, használni kell kivonást is, pl. az $1-x+x^2$ polinomot.

  Még egy kis segítség

  $1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$ és $1+x^2+x^4 = (1+x+x^2)(1-x+x^2)$.
• Bizonyítsa be, hogy az $\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0$ halmazon definiált alábbi szorzás asszociatív művelet: $$ (a,b) \cdot (c,d) := (ac+bd,ad+bc).$$

Pozitív és negatív egész számok. Részbenrendezett csoport és gyűrű fogalma, csoport és gyűrű kompatibilis részbenrendezéseinek és lineáris rendezéseinek leírása pozitivitási tartományokkal. Az egész számok rendezése és annak egyértelműsége. A leendő racionális számokhoz tartozó összeadás és szorzás bevezetése, az összeadás és szorzás kommutativitása, asszociativitása és egységelemessége.

Házi feladatok:

• Legyen $(G;+)$ egy Abel-csoport, és $\leq$ egy olyan részbenrendezés a $G$ halmazon, ami kompatibilis a $+$ művelettel: $\forall a,b,c\in G\colon\ a \leq b \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+c$. Bizonyítsa be, hogy ekkor $\ a \leq b \;\Longrightarrow\; -a \geq -b\ $ teljesül minden $a,b\in G$ esetén.
• Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,2,3,4,5,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
• Határozza meg a $(\mathbb{Z}_{10};+)$ csoport összes lehetséges pozitivitási tartományát és a hozzájuk tartozó részbenrendezéseket.
• Mely elemeknek van inverze a $(\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\});+)$ algebrai struktúrában? (Az összeadás definícióját lásd itt.)
• Mely elemeknek van inverze az $(\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\});\cdot)$ algebrai struktúrában? (A szorzás definícióját lásd itt.)
• Disztributív-e a szorzás az összeadásra a $(\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\});+,\cdot)$ algebrai struktúrában? (A műveletek definícióit lásd itt.)

A $\mathbb{Q}:=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\!\setminus\!\{0\};+,\cdot)/\sim$ test, $\mathbb{Z}$ beágyazása $\mathbb{Q}$-ba. Pozitív és negatív racionális számok, a racionális számok rendezése és annak egyértelműsége. A racionális számok rendezésének sűrűsége és arkhimédeszi tulajdonsága. A valós számok Cantor-féle felépítése.

Házi feladat:

• Bizonyítsa be, hogy az $X = \big\{ x \in \mathbb{Q}^+ \mid x^2>2 \big\} \subseteq \mathbb{Q}$ halmaznak nincs legkisebb eleme. A bizonyítás során csak racionális számokat lehet használni, így pl. nem használhatjuk azt, hogy $X = \big\{ x \in \mathbb{Q} \mid x>\sqrt{2}\, \big\}$.

A Dedekind-szelet fogalma, példák, ekvivalens leírás „fel”-halmazokkal, szeletek egyesítése, szelet széle, szeletek összege, az $(\mathcal{R};+)$ Abel-csoport.

Házi feladatok:

• Bizonyítsa be, hogy tetszőleges $H \subseteq \mathbb{Q}$ esetén $H^{\uparrow}=H$ akkor és csak akkor teljesül, ha $H$ teljesíti az (FSZ) és (NLK) tulajdonságokat.
• Bizonyítsa be, hogy ha $X$ és $Y$ két különböző Dedekind-szelet, akkor $X \subset Y$ vagy $Y \subset X$.
• Adjon példát olyan $X_1,X_2,\ldots$ Dedekind szeletekre, amelyeknek metszete nem üres, de nem is Dedekind-szelet: $\emptyset \neq \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}X_i \notin \mathcal{R}$.
• Legyen $X=3^{\uparrow}$ és $Y=(-2)^{\uparrow}$. Határozza meg az $\{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ halmazt. (Ez a példa mutatja, hogy negatív szeletek esetén miért nem használható az $X\cdot Y := \{ x\cdot y \mid x \in X,\ y \in Y \}$ definíció.)

Pozitív és negatív szeletek, a pozitív szeletek multiplikatív Abel-csoportja, a szorzás kiterjesztése negatív szeletekre, az $(\mathcal{R};+,\cdot)$ test, a racionális számtest beágyazása. A Dedekind-szeletek rendezése és a rendezés kapcsolata a tartalmazással, pozitív szelet $n$-edik gyöke, a Dedekind-szeletek rendezésének egyértelműsége.

Rendezett testek karakterizációja (csak a feltétel szükségességének bizonyításával). A racionális számtest beágyazása rendezett testbe, arkhimédeszi tulajdonság, végtelen és infinitezimális elemek. Az arkhimédeszi tulajdonság ekvivalens jellemzései. A racionális törtek teste nem arkhimédeszi. A Dedekind-teljesség fogalma, kapcsolata az arkhimédeszi tulajdonsággal. A Dedekind-szeletek teste Dedekind-teljes, teljes rendezett test unicitása, a valós számok teste. A teljesség különböző definíciói.

Házi feladatok:

• Hogyan fest a komplex számok testén a $P=\mathbb{R}^+_0$ pozitivitási tartománnyal meghatározott részbenrendezés?
• Bizonyítsa be, hogy két infinitezimális elem összege is infinitezimális. (Megjegyzés: ebből következik, hogy az „infinitezimálisan közel lenni” reláció ekvivalenciareláció.)
• Legyen $T$ egy nemarkhimédeszi rendezett test, és legyen $\varepsilon \in T$ egy pozitív infinitezimális elem. Bizonyítsa be, hogy $\displaystyle\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon^2} \lt \frac{7}{\varepsilon}- \varepsilon$.
• Az előző feladatbeli elemek között fennáll-e a $\ll$ reláció is?

Rendezett testek karakterizációja (a feltétel elegendőségének bizonyítása).

Házi feladat:

• Olvassa el a jegyzetben a rendezett algebrai struktúrákról szóló fejezet végén az utolsó tétel bizonyítását.