szeptember 14. szombat, 8–10 (online). Természetes számok.
Peano-axiómák, teljes indukció, az összeadás, szorzás és rendezés definíciója és tulajdonságai.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy $1+n=n'$ minden $n$ természetes számra.
- Bizonyítsa be, hogy $2\cdot 2=4$ (fel szabad használni, hogy $2+2=4$).
- Ismételje át algebrai struktúrák izomorfizmusának fogalmát.
- Ismételje át a számelméleti kongruencia fogalmát és alaptulajdonságait.
|
október 25. péntek, 14–16 (Grünwald terem). Rendezett algebrai struktúrák.
Művelet és részbenrendezés kompatibilitása, (részben)rendezett csoportok és gyűrűk leírása pozitivitási tartományokkal. Művelet és ekvivalenciareláció kompatibilitása, faktoralgebra.
Házi feladatok:
- Legyen $(A;+)$ egy Abel-csoport, és $\leq$ egy olyan részbenrendezés az $A$ halmazon, ami kompatibilis a $+$ művelettel: $\forall a,b,c\in A\colon\ a \leq b \;\Longrightarrow\; a+c \leq b+c$. Bizonyítsa be, hogy ekkor $\ a \leq b \;\Longrightarrow\; -a \geq -b\ $ teljesül minden $a,b\in G$ esetén.
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,3,6,9,12,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Tekintsük az egész számok additív csoportján a $P=\{ 0,2,3,4,5,\ldots \}$ pozitivitási tartománnyal megadott részbenrendezést. Határozza meg a fedési relációt, és vázolja fel a Hasse-diagramot.
- Határozza meg a $(\mathbb{Z}_{10};+)$ csoport összes lehetséges pozitivitási tartományát és a hozzájuk tartozó részbenrendezéseket.
|
október 26. szombat, 8–10 (Grünwald terem). Egész számok, racionális számok, Dedekind-szeletek.
Az egész számok gyűrűjének konstrukciója. A racionális számok testének konstrukciója, a racionális számok rendezésnek sűrűsége és arkhimédeszi tulajdonsága. A Dedekind-szelet fogalma, a szelet „széléről” szóló lemma.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy tetszőleges $H \subseteq \mathbb{Q}$ esetén $H^{\uparrow}$ rendelkezik az (FSZ) és (NLK) tulajdonságokkal. Milyen $H$ halmazok esetén rendelkezik $H^{\uparrow}$ a (NVR) tulajdonsággal?.
- Bizonyítsa be, hogy tetszőleges nemüres $X \subsetneq \mathbb{Q}$ esetén $X^{\uparrow}=X$ akkor és csak akkor teljesül, ha $X$ Dedekind-szelet.
|
november 16. szombat, 8–10 (online). Valós számok.
Dedekind-szeletek összege, az $(\mathcal{R};+)$ Abel-csoport. Pozitív és negatív szeletek, a pozitív szeletek multiplikatív Abel-csoportja, a szorzás kiterjesztése negatív szeletekre, az $(\mathcal{R};+,\cdot)$ test, a racionális számtest beágyazása. A Dedekind-szeletek rendezése és a rendezés kapcsolata a tartalmazással. Gyökvonás Dedekind-szeletből.
|
december 7. szombat, 10–12 (Grünwald terem online). Arkhimédeszi és teljes testek, (hiper)komplex számok, kvaterniók.
Rendezett testek arkhimédeszi tulajdonsága, végtelen és infinitezimális elemek. A Dedekind-teljesség fogalma, kapcsolata az arkhimédeszi tulajdonsággal. A Dedekind-szeletek teste Dedekind-teljes, teljes rendezett test unicitása, a valós számok teste. A teljesség különböző definíciói.
Valós szám tizedes tört alakja, racionális szám tizedes tört alakjának periodicitása. A komplex számok teste, a Study-féle számok gyűrűje, a hiperbolikus komplex számok gyűrűje. Test feletti algebrák, a $2$ rangú hiperkomplex rendszerek leírása.
A kvaterniók ferdeteste, kvaterniók és vektorok, $-1$ négyzetgyökei a kvaterniók körében. Frobenius tétele.
Házi feladatok:
- Bizonyítsa be, hogy két infinitezimális elem összege is infinitezimális. (Megjegyzés: ebből következik, hogy az „infinitezimálisan közel lenni” reláció ekvivalenciareláció.)
- Legyen $T$ egy nemarkhimédeszi rendezett test, és legyen $\varepsilon \in T$ egy pozitív infinitezimális elem. Bizonyítsa be, hogy $\displaystyle\frac{2+\varepsilon}{\varepsilon-\varepsilon^2} \lt \frac{7}{\varepsilon}- \varepsilon$.
- Az előző feladatbeli elemek között fennáll-e a $\ll$ reláció is?
- Melyik az a legkisebb $b$ természetes szám, amelyre $\frac{1}{b}$ tizedes tört alakja $7$-periodikus?
- Bizonyítsa be, hogy a Study-féle számok gyűrűjében teljesül az $(a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon$ azonosság minden pozitív egész $n$ kitevőre.
- Határozza meg a hiperbolikus komplex számok gyűrűjében a $13+12j$ elem összes négyzetgyökét.
- Bizonyítsa be, hogy az $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ egyenlőségekből következik, hogy $ij=k=-ji$, $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$.
- Határozza meg a kvaterniók ferdetestében a harmadik egységgyököket, vagyis az összes olyan $q$ kvaterniót, amelyre $q^3=1$ (végtelen sok van!).
|