Példa

Határozzuk meg az egység sugarú (negyed-)kör területét. Megoldás: Az origó középpontú 1 sugarú kör egyenlete : $x^2+y^2=1$, ezért az első síknegyedet választva az explicit függvénykapcsolatot az $y=\sqrt{1-x^2}$ képlet írja le. A meghatározandó integrál tehát: $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$. Alkalmazzuk a $x=\sin(y)$ helyettesítést. $\Rightarrow dy={1\over{\sqrt{1-x^2}}} dx$

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx=\int_0^{\pi\over2} 1-\sin^2(y) dy=\int_0^{\pi\over2} \... ...\cos(2y) dy={1\over2}\left[y+{\sin(2y)\over2}\right]_0^{\pi\over2}={\pi\over4}$.

Ezért az egészkörnek a területe $\pi$, és a hasonlóság miatt az R sugarú kör területe $T=R^2\cdot \pi$.

2. Megoldás. Ha ismerjük a polárkoordinátákra vonatkozó területképletetet, akkor gyorsabban célhoz érünk: $T={1\over2}\int_\alpha^\beta r^2(\phi) d\phi={1\over2}\int_0^{2\pi} R^2 d\phi=R^2\pi$.