Sztochasztikus folyamatok (2016 tavasz)

Időpont, helyszín:

előadás: hétfő 14-16, Kerékjártó terem,
gyakorlat: csütörtök 15-17, Bolyai terem.

Tudnivalók: A félév folyamán két darab másfélórás dolgozatot iratunk, melyeken 50-50 pontot lehet szerezni. A kollokviumjegyet a vizsgaidőszakban tartott szóbeli vizsgákon lehet megszerezni, ahol a vizsgáztató a gyakorlat eredményét is figyelembe veszi.

Letölthető anyagok:

Tételsor.

Az előadás fóliái.

Előadásjegyzet és kiegészítés.

Gyakorló feladatok.

Lineáris konstans együtthatós differenciaegyenletek megoldása.

Előzetes tematika:

1. hét (február 1., 4.):

Előadás: A sztochasztikus folyamatok definíciója és típusai. Megállási idők.

Gyakorlat (előadás): A diszkrét idejű Markov-láncok definíciója és fontosabb tulajdonságai.

2. hét (február 8., 11.):

Előadás: A diszkrét idejű homogén Markov-láncok átmenetvalószínűségei és kommunikációs osztályai.

Gyakorlat: Átmenetvalószínűségek, kommunikációs osztályok, periódus. Megállási idők.

3. hét (február 15., 18.):

Előadás: Az erős Markov-tulajdonság, a visszatérési idők eloszlása. Az állapotok típusai.

Gyakorlat: Az állapotok típusai. Pólya tétele a véletlen bolyongásról.

4. hét (február 22., 25.):

Előadás: Rekurrens kommunikációs osztályok. A homogén Markov-láncok invariáns mértékei és eloszlásai.

Gyakorlat: Elérési és visszatérési idők, elnyelési valószínűségek.

5. hét (február 29., március 3.):

Előadás: Az invariáns eloszlás létezése és egyértelműsége. Ergodikus tételek.

Gyakorlat: Invariáns eloszlás, ergodicitás.

6. hét (március 7., 10.):

Előadás: Felújítási folyamatok és az elemi felújítási tétel. A Poisson-folyamat.

Gyakorlat: Felújítási folyamatok és díjfolyamatok.

7. hét (március 14., 17.):

Előadás: Szünet.

Gyakorlat: Dolgozat.

8. hét (március 21., 24.):

Előadás: A folytonos idejű homogén Markov-láncok átmenetvalószínűségei, Kolmogorov egyenletei.

Gyakorlat (előadás): Az állapotváltozások dinamikája.

9. hét (március 28., 31.): Tavaszi szünet.

10. hét (április 4., 7.):

Előadás: A folytonos idejű homogén Markov-láncok kommunikációs osztályai és invariáns eloszlásai.

Gyakorlat: Példák folytonos idejű Markov-láncokra: Poisson-folyamat, születési-halálozási folyamatok.

11. hét (április 11., 14.):

Előadás: A sztochasztikus folyamatok véges dimenziós eloszlásai, a Kolmogorov egzisztenciatétel.

Gyakorlat: Tömegkiszolgálási modellek és a PASTA-elv.

12. hét (április 18., 21.):

Előadás: Sztochasztikus folyamatok modifikációja és folytonossága.

Gyakorlat: További feladatok folytonos idejű Markov-láncokra.

13. hét (április 25., 28.):

Előadás: Gauss-folyamatok. A standard Wiener-folyamat létezése és véges dimenziós eloszlásai.

Gyakorlat: Dékáni szünet a kari sportnap miatt.

14. hét (május 2., 5.):

Előadás: A Wiener-folyamat tulajdonságai: önhasonlóság, martingálság, markovitás, tükrözési elv.

Gyakorlat: Vegyes feladatok.

15. hét (május 9., 12.):

Előadás: A Wiener-folyamat további tulajdonságai: négyzetes és teljes megváltozás, differenciálhatóság, nagy számok törvénye, iterált logaritmus tétel.

Gyakorlat: Dolgozat.

Ajánlott irodalom:

Norris: Markov Chains, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

Markov-láncok és alkalmazásaik diszkrét és folytonos időben. Sok alkalmazás, tömör nyelvezet.

Karlin, Taylor: A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, New York – London, 1975.

Tankönyv a Markov-láncokról és a felújítási folyamatokról. Magyarul is megjelent.

Csörgő: Valószínűségelmélet, Polygon Kiadó, Szeged, 2010.

Általános valószínűségelmélet tankönyv erős mértékelméleti bevezetővel.

Ross: Introduction to Probability Models, 9th Edition, Academic Press, New York – London, 2007.

Sztochasztikus folyamatok sok-sok alkalmazással. Szemléletes és olvasmányos mélyebb bizonyítások nélkül.

Borovkov: Elements of Stochastic Modelling, World Scientific, New Jersey – London – Singapore – Hong Kong, 2003.

Stílusában olyan, mint a Ross, de több az elméleti levezetés.

Grimmett, Stirzaker: Probability and Random Processes, Oxford University Press, Oxford, 2001.

Valószínűségszámítás és sztochasztikus folyamatok az alapoktól az Itô-formuláig.

Grimmet, Stirzaker: One Thousand Exercises in Probability, Oxford University Press, Oxford, 2001.

Feladatgyűjtemény az előző könyvhöz.

Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba I., Műszaki Kiadó, Budapest, 1978.

Általános valószínűségelmélet tankönyv. Helyenként olvasmányos, helyenként túl van bonyolítva.

Gihman, Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975.

Hogy is mondjam... Ez annyira nem ajánlott. Csak végszükség esetén vegyétek kézbe.