Sztochasztikus folyamatok (2016 tavasz)
Időpont, helyszín:
előadás: hétfő 14-16, Kerékjártó terem, |
gyakorlat: csütörtök 15-17, Bolyai terem. |
Tudnivalók: A félév folyamán két darab másfélórás dolgozatot iratunk, melyeken 50-50 pontot lehet szerezni. A kollokviumjegyet a vizsgaidőszakban tartott szóbeli vizsgákon lehet megszerezni, ahol a vizsgáztató a gyakorlat eredményét is figyelembe veszi.
Letölthető anyagok:
Az előadás fóliái.
Előadásjegyzet és kiegészítés.
Lineáris konstans együtthatós differenciaegyenletek megoldása.
Előzetes tematika:
1. hét (február 1., 4.):
Előadás: A sztochasztikus folyamatok definíciója és típusai. Megállási idők.
Gyakorlat (előadás): A diszkrét idejű Markov-láncok definíciója és fontosabb tulajdonságai.
2. hét (február 8., 11.):
Előadás: A diszkrét idejű homogén Markov-láncok átmenetvalószínűségei és kommunikációs osztályai.
Gyakorlat: Átmenetvalószínűségek, kommunikációs osztályok, periódus. Megállási idők.
3. hét (február 15., 18.):
Előadás: Az erős Markov-tulajdonság, a visszatérési idők eloszlása. Az állapotok típusai.
Gyakorlat: Az állapotok típusai. Pólya tétele a véletlen bolyongásról.
4. hét (február 22., 25.):
Előadás: Rekurrens kommunikációs osztályok. A homogén Markov-láncok invariáns mértékei és eloszlásai.
Gyakorlat: Elérési és visszatérési idők, elnyelési valószínűségek.
5. hét (február 29., március 3.):
Előadás: Az invariáns eloszlás létezése és egyértelműsége. Ergodikus tételek.
Gyakorlat: Invariáns eloszlás, ergodicitás.
6. hét (március 7., 10.):
Előadás: Felújítási folyamatok és az elemi felújítási tétel. A Poisson-folyamat.
Gyakorlat: Felújítási folyamatok és díjfolyamatok.
7. hét (március 14., 17.):
Előadás: Szünet.
Gyakorlat: Dolgozat.
8. hét (március 21., 24.):
Előadás: A folytonos idejű homogén Markov-láncok átmenetvalószínűségei, Kolmogorov egyenletei.
Gyakorlat (előadás): Az állapotváltozások dinamikája.
9. hét (március 28., 31.): Tavaszi szünet.
10. hét (április 4., 7.):
Előadás: A folytonos idejű homogén Markov-láncok kommunikációs osztályai és invariáns eloszlásai.
Gyakorlat: Példák folytonos idejű Markov-láncokra: Poisson-folyamat, születési-halálozási folyamatok.
11. hét (április 11., 14.):
Előadás: A sztochasztikus folyamatok véges dimenziós eloszlásai, a Kolmogorov egzisztenciatétel.
Gyakorlat: Tömegkiszolgálási modellek és a PASTA-elv.
12. hét (április 18., 21.):
Előadás: Sztochasztikus folyamatok modifikációja és folytonossága.
Gyakorlat: További feladatok folytonos idejű Markov-láncokra.
13. hét (április 25., 28.):
Előadás: Gauss-folyamatok. A standard Wiener-folyamat létezése és véges dimenziós eloszlásai.
Gyakorlat: Dékáni szünet a kari sportnap miatt.
14. hét (május 2., 5.):
Előadás: A Wiener-folyamat tulajdonságai: önhasonlóság, martingálság, markovitás, tükrözési elv.
Gyakorlat: Vegyes feladatok.
15. hét (május 9., 12.):
Előadás: A Wiener-folyamat további tulajdonságai: négyzetes és teljes megváltozás, differenciálhatóság, nagy számok törvénye, iterált logaritmus tétel.
Gyakorlat: Dolgozat.
Ajánlott irodalom:
Norris: Markov Chains, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Markov-láncok és alkalmazásaik diszkrét és folytonos időben. Sok alkalmazás, tömör nyelvezet.
Karlin, Taylor: A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, New York – London, 1975.
Tankönyv a Markov-láncokról és a felújítási folyamatokról. Magyarul is megjelent.
Csörgő: Valószínűségelmélet, Polygon Kiadó, Szeged, 2010.
Általános valószínűségelmélet tankönyv erős mértékelméleti bevezetővel.
Ross: Introduction to Probability Models, 9th Edition, Academic Press, New York – London, 2007.
Sztochasztikus folyamatok sok-sok alkalmazással. Szemléletes és olvasmányos mélyebb bizonyítások nélkül.
Borovkov: Elements of Stochastic Modelling, World Scientific, New Jersey – London – Singapore – Hong Kong, 2003.
Stílusában olyan, mint a Ross, de több az elméleti levezetés.
Grimmett, Stirzaker: Probability and Random Processes, Oxford University Press, Oxford, 2001.
Valószínűségszámítás és sztochasztikus folyamatok az alapoktól az Itô-formuláig.
Grimmet, Stirzaker: One Thousand Exercises in Probability, Oxford University Press, Oxford, 2001.
Feladatgyűjtemény az előző könyvhöz.
Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba I., Műszaki Kiadó, Budapest, 1978.
Általános valószínűségelmélet tankönyv. Helyenként olvasmányos, helyenként túl van bonyolítva.
Gihman, Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Kiadó, Budapest, 1975.
Hogy is mondjam... Ez annyira nem ajánlott. Csak végszükség esetén vegyétek kézbe.