2. Feladat

Állapítsuk meg, hogy az alábbi pontokban az $f(x)={x^2-1\over{2x^2-x-1}}$ függvénynek létezik-e a határértéke és ott folytonos-e.

$a) x_0=0  b) x_0=1  c) x_0=-{1\over2}  d) x_0=+\infty$.

Az a) esetnél $x_0=0-$ban mind a számlálóban, mind a nevezőben lévő polinom folytonos, s mivel $0\in D_f$, $f(x) 0-$ban folytonos és a határérték megegyezik $f(0)=1$-gyel. A b) esetnél $x_0=1\not\in D_f$, hiszen $f(x)={(x+1)(x-1)\over{(2x+1)(x-1)}}$, vagyis az $x_0=1$ a nevezőben lévő polinom gyöke, ezért itt $f$ nem folytonos, de a határérték létezik, mert ha $x\not=1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1}{x+1\over{2x+1}}={2\over3}$. A c) esetnél $x_0=-{1\over2}$ szintén gyöke a nevezőnek, így itt sem folytonos $f$, sőt a határérték sem létezik, mivel a féloldali határértékek nem egyeznek meg
$(\lim\limits_{x\rightarrow-1/2^-}f(x)=-\infty \lim\limits_{x\rightarrow-1/2^+}f(x)=+\infty   )$. A d) esetben $x^2-$tel
végigosztva a számlálót és a nevezőt kapjuk, hogy $f(x)={1-1/x^2\over{2-1/x-1/x^2}}$, vagyis $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)={1-0\over{2-0-0}}={1\over2}$ (folytonosságról itt nincs értelme beszélni).