2. Feladat

Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy

${1\over1^2}+{1\over2^2}+{1\over3^2}+\dots+{1\over n^2}\leq2-{1\over n}.$

Megoldás: $n=1$esetén ${1\over1^2}\leq2-{1\over1}.$

$[n\rightarrow (n+1)]$

${1\over1^2}+{1\over2^2}+{1\over3^2}+\dots+{1\over n^2}+ {1\over (n+1)^2}\matri... ...r\leq\cr (IF.)}2-{1\over n}+{1\over (n+1)^2}\matrix{\cr\leq\cr ?}2-{1\over n+1}$, de

$2-{1\over n}+{1\over (n+1)^2}\leq2-{1\over n+1}$

$\Updownarrow$

$n(n+1)\leq (n+1)^2-n$

$\Updownarrow$

$0\leq1$,

vagyis minden $n$-re valóban fennáll az egyenlőtlenség.