3. Feladat

Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy fennáll a binomiális tétel, vagyis

$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(\matrix{n\cr k}\right)a^kb^{(n-k)}} (a,b\in \Re)$

Megoldás: $n=1$esetén $(a+b)^1=a+b=\left(\matrix{1\cr 0}\right)a^0b^1+\left(\matrix{1\cr 1}\right)a^1b^0.$

$[n\rightarrow (n+1)]$

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n\matrix{(IF.)\cr=\cr\cr}(a+b)\sum\limits_{k=0}^n{\left(\matrix{n\cr k}\right)a^kb^{(n-k)}}=$

$\left(\matrix{n\cr n}\right)a^{n+1}+\left(\matrix{n\cr 0}\right)b^{n+1} +\sum\... ...b^{(n-k)}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\left(\matrix{n\cr k}\right)a^kb^{(n-k+1)}}=$

$\left(\matrix{n+1\cr n+1}\right)a^{n+1}+\left(\matrix{n+1\cr 0}\right)b^{n+1} ... ...^{(n-k+1))}}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(\matrix{n\cr k}\right)a^kb^{(n-k+1)}}=$

$\left(\matrix{n+1\cr n+1}\right)a^{n+1}+\left(\matrix{n+1\cr 0}\right)b^{n+1} ... ...\matrix{n\cr k-1}\right)+ \left(\matrix{n\cr k}\right)\right)a^kb^{(n-k+1))}}=$

$\left(\matrix{n+1\cr n+1}\right)a^{n+1}+\left(\matrix{n+1\cr 0}\right)b^{n+1} +\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(\matrix{n+1\cr k}\right)a^kb^{((n+1)-k))}}=$

$\sum\limits_{k=0}^{n+1}{\left(\matrix{n+1\cr k}\right)a^kb^{((n+1)-k))}}.$