6. Példa

Határozzuk meg az $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt n\cdot(\sqrt{n+1}-\sqrt n)$ határértéket.

Ismét egy határozatlan kifejezéssel van dolgunk, újból az $a^2-b^2=$

$(a-b)(a+b)$ nevezetes azonosságot alkalmazva: $\sqrt n\cdot(\sqrt{n+1}-\sqrt n)= {\sqrt n\over{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={1\over{\sqrt{n+1\over n}+\sqrt{n\over n}}}$, ezért $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt n\cdot(\sqrt{n+1}-\sqrt n)={1\over{\sqrt1+\sqrt1}}={1\over2}$.