Szélsőértékprobléma kétváltozós függvényeknél

Az $a=(x_0,y_0)$ pont az $f(x,y)$ függvény lokális szélsőértékhelye, ha létezik egy olyan $K_\epsilon$ környezete úgy, hogy $\forall x\in{D_f}\cap{K_\epsilon}:  f(x)>f(a)$. Legyen $f(x,y)$ az $a$ pont egy környezetében totálisan differenciálható. Ekkor persze a parciális deriváltak is léteznek és ha $a$-ban lokális szélsőértékhely van, akkor lokális szélsőértéke van az $f(x_0,y), f(x,y_0)$ egyváltozós függvényeknek is, ezért a szélsőérték létezésének szükséges feltétele , hogy ${\partial f\over{\partial x}}=0, {\partial f\over{\partial y}}=0$. Hogy ez még nem elégséges, arra jó példa az $f(x,y)=x^2-y^2$ képlettel definiált un. nyeregfelület viselkedése az $O$-ban.A következő lemmában egy elégséges feltételt fogalmazunk meg.