Kezdőoldal

Fontos tudnivalók

Vizsga

Hasznos linkek

• A kurzus tematikája
• Előfeltételek
• Kreditszám és érdemjegy
• Vizsga

A kurzus tematikája

• Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. Sajátaltér.
• Euklideszi terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra. Unitér terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Normális és unitér leképezések, unitér mátrixok. Spektráltétel.
• Polinommátrixok ekvivalenciája és kanonikus alakja. Hasonló mátrixok. Lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel. Mátrixok Jordan-féle normálalakja.
• Az algebrai számelmélet elemei: algebrai és transzcendens számok, algebrai egészek, kvadratikus testek. Kvaterniók, a természetes számok fölbontása négyzetszámok összegére, a Waring-problémakör.
• Polinom felbontási teste. Véges testek és algebrai kódok. Prímtesztek, RSA titkosítás.
• Véges automaták és reguláris nyelvek.

Irodalom:

• Czédli Gábor, Boole-függvények, JATEPress, Szeged 1994, 89 oldal; Polygon, Szeged, 1995.
• D.K. Fagyejev, I.S. Szominszkij: Felsőbb algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973, Typotex, 2000.
• Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
• Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
• Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.

• MBN411E: Absztrakt algebra
  Véges halmaz permutációi. Csoport definíciója, az asszociativitás és az invertálhatóság következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvető tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok. Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Faktorcsoport részcsoportjai. Egyszerű csoportok, az alternáló csoportok egyszerűsége. Csoportok direkt szorzata, direkt fölbontása; a véges Abel-csoportok alaptétele.
  A gyűrű definíciója, nevezetes példák. Ideál, ideál szerinti osztályozás, faktorgyűrű. Gyűrűelméleti homomorfiatétel és izomorfiatételek. Gyűrűk direkt szorzata, a maradékosztálygyűrűk direkt fölbontása. Egyszerű gyűrűk, a főideálgyűrűk faktortestei. Integritástartomány hányadosteste. Test karakterisztikája, prímteste. Egyszerű algebrai és egyszerű transzcendens testbővítés, minimálpolinom, végesfokú testbővítés.
  Absztrakt algebrai alapfogalmak: művelet, algebra, részalgebra, generátorrendszer, homomorfizmus, izomorfizmus, kongruencia, kompatibilis osztályozás, faktoralgebra. Homomorfiatétel.
• MBN211E: Klasszikus algebra és számelmélet
  Komplex számok: kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás, egységgyökök.
  A csoport, a gyűrű és a test fogalma, példák. Integritástartományok, egységelemes gyűrű fölötti egyhatározatlanú polinomgyűrű, a Gauss-egészek és az Euler-egészek gyűrűje. Az oszthatóság tulajdonságai integritástartományokban. Legnagyobb közös osztó , legkisebb közös többszörös. Maradékos osztás és euklideszi algoritmus Z-ben és test fölötti polinomgyűrűben. Euklideszi gyűrűk, főideálgyűrűk, egyértelmű irreducibilis felbontás. Prímszámok, a számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van.
  Polinomok zéróhelyei, Bézout tétele. A klasszikus algebra alaptétele és következményei, irreducibilis faktorizáció a valós és a komplex számtest fölött. A harmad- és a negyedfokú polinomok zéróhelyeinek meghatározása. Irreducibilis polinomok a racionális számtest fölött, racionális zéróhelyek, a Schönemann-Eisenstein-tétel. Polinomok közös és többszörös zéróhelyei. Test fölötti többhatározatlanú polinomgyűrű, a szimmetrikus polinomok alaptétele.
  Lineáris diofantoszi egyenletek. A modulo n kongruencia és tulajdonságai, maradékosztályok, teljes és redukált maradékrendszerek. A modulo f(x) kongruencia polinomgyűrűben. Maradékosztály-gyűrű, illetve -test polinomgyűrű esetén. Véges testek konstrukciója. Lineáris kongruenciák, a kínai maradéktétel. Euler, Fermat és Wilson kongruenciatétele. Számelméleti függvények, multiplikatív függvények, nevezetes példák, összegzési és megfordítási függvény. Primitív gyökök és indexek. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. Természetes számok fölbontása két négyzetszám összegére, pitagoraszi számhármasok. A prímszámok eloszlása, a prímszámok reciprokaiból állósor divergenciája. Nevezetes tételek és megoldatlan problémák (ismertetés).
• MBN111E: Lineáris algebra
  Műveletek mátrixokkal. A determináns definíciója és tulajdonságai. Determináns kifejtése, a ferde kifejtés tétele. Determináns transzponáltja, a determinánselméleti dualitási elv. Vandermonde-determináns. A determinánsok szorzástétele, mátrixok inverze. Lineáris egyenletrendszerek, Gauss-elimináció, Cramer-szabály.
  Vektortér, az axiómák következményei. Altér, alterek metszete és összege. Lineáris kombináció, generátorrendszer. Lineárisan független és függő vektorrendszerek. Kicserélési tétel. Bázis, minimális generátorrendszer, maximális lineárisan független vektorrendszer. Véges dimenziós vektorterek, dimenzió, vektor koordinátái adott bázisban. Vektorrendszer rangja. Vektorrendszer elemi átalakításai, ekvivalens vektorrendszerek. Alterekre vonatkozó dimenziótétel. Lineáris leképezések és transzformációk, vektorterek izomorfizmusa. Lineáris leképezések magja és képtere, lineáris leképezések dimenziótétele. Műveletek lineáris leképezésekkel.
  Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja. Rangszámtétel. Kronecker-Capelli-tétel, lineáris egyenletrendszer megoldása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak altere. Lineáris leképezés mátrixa, lineáris leképezések összegének, szorzatának és skalárszorosának mátrixa. Bázisátmenet mátrix, lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban. Hasonló mátrixok.
  Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. Bilineáris alak, szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak. Kvadratikus alakok kanonikus alakra hozása nemelfajuló helyettesítéssel. Valós kvadratikus alakok, tehetetlenségi tétel. Valós kvadratikus alakok osztályozása. Pozitív definit kvadratikus alakok.