Kezdőoldal

Fontos tudnivalók

Vizsga

Hasznos linkek

• Emlékeztető: Lineáris transzformáció sajátértékének, sajátvektorának definíciója. Lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja az adott vektortér bármely bázisában felírt A mátrixának |A-xE| karakterisztikus polinomja (amely nem függ a bázis választásától). Lineáris transzformáció sajátértékei a karakterisztikus polinomjának az alaptestbe eső gyökei.
• Definíciók: vektorterek direkt szorzata; vektortér felbontása véges sok altere direkt összegére. A direkt szorzat és a direkt összere bontás kapcsolata. A direkt összegre bontás ekvivalens jellemzései.
• Lineáris transzformáció sajátalterének definíciója. Lineáris transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátaltereinek összege ezen alterek direkt összege.
• Ekvivalensek a következő feltételek bármely véges dimenziós V vektortér tetszőleges φ lineáris transzformációjára: (1) V-nek van olyan bázisa, amelyben a φ mátrixa diagonális, (2) V-nek van φ sajátvektoraiból álló bázisa, (3) V előáll φ sajátaltereinek összegeként, (4) V előáll φ sajátaltereinek direkt összegeként.

Szeptember 14.

• Ha V előáll véges sok altere direkt összegeként, akkor ezen alterek egy-egy bázisának egyesítése V-nek bázisa; fordítva, ha adott V egy bázisának egy osztályozása, akkor V az ezen osztályok által generált alterek direkt összege.
• Euklideszi tér, unitér tér definíciója, a belső szorzat tulajdonságai. Példák: Rⁿ, Cⁿ. Vektor normája és tulajdonságai.
• Cauchy--Bunyakovszkij--Schwarz-egyenlőtlenség.
• Ortogonalitás, ortogonális komplementum; a definíciók közvetlen következményei.

Szeptember 21.

• Ortogonális/ortonormált vektorrendszer (OVR/ONVR), illetve ortogonális/ortonormált bázis (OB/ONB). A Gram--Schmidt-féle ortogonalizálási eljárás és az azt megalapozó tétel. Az eljárás alkalmazása lineárisan függő vektorrendszerre, illetve olyan vektorrendszerre, amelynek kezdőszelete ortogonális rendszert alkot.
• Következmények: Véges dimenziós euklideszi/unitér térben 1. ONB létezése; 2. OVR kiegészítése OB-sá, illetve ONVR kiegészítése ONB-sá. 3. Az n-dimenziós euklideszi/unitér terek izomorfiája. 4. Véges dimenziós euklideszi/unitér tér felbontása tetszőleges U alterének és U ortogonális komplementumának direkt összegére.
• Euklideszi/unitér tér lineáris transzformációjának adjungáltja. Az adjungált tulajdonságai.

Szeptember 28.

• Lineáris transzformáció adjungáltjának mátrixa ONB-ban.
• Ortogonális/unitér, önadjungált, illetve normális transzformációk és mátrixaik ONB-okban. Ortogonális/unitér transzformációk ekvivalens jellemzései.
• Önadjungált transzformáció karakterisztikus polinomjának gyökei.
• Spektráltétel. (Bizonyítás befejezése a következő előadáson.)

Október 5.

• Spektráltétel bizonyítása. A spektráltétel átfogalmazása mátrixokra.
• Főtengelytétel.
• Euklideszi tér felbontása ortogonális transzformáció 1-, illetve 2-dimenziós invariáns alterei direkt összegére. (Bizonyítás befejezése a következő előadáson.)

Október 12.

• Euklideszi tér felbontása ortogonális transzformáció 1-, illetve 2-dimenziós invariáns alterei direkt összegére. (Bizonyítás befejezése.)
• Modulus fogalma. Példák. K feletti V vektortér adott φ lineéris transzformációjához tartozó V_K[x] jobbmodulus.
• Részmodulus, generátorrendszer. V bármely U alterére: U akkor és csak akkor invariáns φ-re, ha U részmodulusa V_K[x]-nek.
• Faktormodulus. Homomorfiatétel modulusokra. Modulusok direkt szorzata; modulus felbontása véges sok részmodulusa direkt összegére.

Október 19.

• Lineáris függetlenség, bázis R-modulusban. Végesen generált szabad modulusok ekvivalens jellemzései.
• Végesen generált szabad R-modulusok homomorfizmusa tetszőleges R-modulusba, a homomorfizmus mátrixa. Végesen generált F szabad R-modulus és annak végesen generált N részmodulusa estén F új bázisára és N új generátorrendszerére való áttérés leírása mátrixokkal.
• Főideálgyűrű fölötti m x n -es mátrix diagonális alakra hozása.

November 2.

• Főideálgyűrű fölötti modulusban az elemrend fogalma. Ciklikus modulusok leírása izomorfia erejéig. Torziómodulus, tetszőleges modulus torzió-részmodulusa.
• A főideálgyűrű fölötti végesen generált modulusok alaptétele (invariáns faktoros, ill. elemi osztós alak). Speciális esetek (torziómodulusok, végesen generált Abel-csoportok, véges Abel-csoportok).
• Az alaptételben a felbontás létezésének bizonyítása (mindkét alak).

November 9.

• Főideálgyűrű fölötti torziómodulus exponense.
• Emlékeztető: adott V n-dimenziós vektortérhez és V adott φ lineáris transzformációjához tartozó V_K[x] jobbmodulus, ill. _K[x]V balmodulus. Rögzítsük V egy bázisát, s ebben φ mátrixa legyen A.
• _K[x]V torziómodulus.    _K[x]V előállítása az n-rangú szabad K[x]-modulus faktormodulusaként az A-xE karakterisztikus mátrix felhasználásával.
• A diagonalizálási tétel és az alaptétel invariáns faktoros alakjának alkalmazása az A-xE karakterisztikus mátrixra, ill. a _K[x]V modulusra: φ minimálpolinomja, Cayley--Hamilton-tétel, racionális kanonikus alak létezése és egyértelműsége.

November 16.

• Az alaptétel elemi osztós alakjának alkalmazása a _K[x]V modulusra: Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége tetszőleges K test felett.
• Jordan-normálalak algebrailag zárt K test felett.
• A racionális kanonikus alak és a Jordan-normálalak összehasonlítása.
• A diagonalizálható mátrixok jellemzése tetszőleges K test felett.

November 23.

• Emlékeztető: Végesfokú, algebrai, végesen generált, illetve egyszerű testbővítés fogalma. Fokszámtétel; a végesfokú testbővítések jellemzése; algebrai elem minimálpolinomjának létezése és egyértelműsége; adott minimálpolinomú elemmel való egyszerű algebrai testbővítés létezése és egyértelműsége; testek közötti izomorfizmus kiterjeszthetősége olyan elemekkel történő egyszerű algebrai bővítéseikre, amelyeknek a minimálpolinomjai az alaptestek közötti izomorfizmusnál egymásnak felelnek meg.
• Adott K test feletti nemkonstans polinom K feletti felbontási testének fogalma. Tetszőleges K test feletti nemkonstans polinomnak létezik felbontási teste K felett, s a felbontási test K-t elemenként fixen hagyó izomorfizmustól eltekintve egyértelműen meghatározott. Testek közötti izomorfizmus kiterjeszthetősége olyan polinomok felbontási testeire, amelyek az alaptestek közötti izomorfizmusnál egymásnak felelnek meg.
• Tetszőleges K véges testre: char(K)=p valamely p prímre; K a Z_p prímtest bővítése; |K|=pⁿ, ahol n=[K:Z_p]; K minden résztestének rendje p^d, ahol d az n osztója; K minden eleme az x^pn-x polinom gyöke; K multiplikatív csoportja ciklikus; így K|Z_p egyszerű algebrai testbővítés.
• Minden (1-nél nagyobb) pⁿ prímhatványa létezik pⁿ-elemű K test, és K izomorfiától eltekintve egyértelműen meghatározott; K az x^pn-x polinom felbontási teste Z_p felett. Következésképpen minden p prímre és n pozitív egészre létezik n-edfokú irreducibilis polinom Z_p felett.

November 30.

• Véges test résztestei.
• Kódoláselméleti alapfogalmak. Hamming-távolság, k-hibajelző, illetve k-hibajavító kódolás. A kódszavak közötti minimális távolság és a hibajelző, illetve hibajavító erő kapcsolata.
• Reed--Solomon-kódolás.

December 7.

• BCH-kódolás.
• RSA titkosítás.
• Miller--Rabin-teszt. A tesztet megalapozó tétel bizonyítása (Bizonyítás befejezése a következő előadáson.)