Absztrakt algebra ea. (OT középisk.)
Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék
Tematika:
Algebrai struktúrák, részstruktúrák, generátorrendszerek, kongruenciák, faktorstruktúrák, homomorfizmusok, homomorfiatétel. Algebrák direkt szorzata.
Generált részcsoport és generált részgyűrű. A normálosztó és az ideál fogalma, kongruenciák csoportokon és gyűrűkön. Faktorcsoport, faktorgyűrű. Homomorfiatétel csoportokra és gyűrűkre. Az egyszerű csoport és egyszerű gyűrű fogalma. Az egyszerű Abel-csoportok, az egyszerű egységelemes kommutatív gyűrűk. Az alternáló csoportok, és a test fölötti teljes mátrixgyűrűk egyszerűsége (ismertetés). Maximális normálosztó, maximális ideál.
Csoportok előállítása normálosztóik direkt szorzataként, gyűrűk előállítása ideáljaik direkt összegeként, kapcsolatuk a direkt szorzat konstrukcióval. A véges Abel-csoportok alaptétele (ismertetés). A mod n maradékosztály-gyűrűk direkt előállításai és a kínai maradéktétel.
Csoporthatások, Sylow-tételek (ismertetés). A kis elemszámú csoportok.
Integritástartományok ideáljai és oszthatósági kérdései. Egyértelmű irreducibilis faktorizáció integritástartományokban, főideálgyűrűk, Gauss-gyűrűk.
Főideálgyűrűk faktortestei, integritástartományok hányadosteste. Egyszerű testbővítéseket. Véges testek. A Galois-elmélet elemei, valamint alkalmazása geometriai szerkeszthetőségi problémákban és a magasabb fokú egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának kérdésében.
Előfeltétel: