1. Példa

Konvergens-e az $a_1=1, a_{n+1}={1\over2}(a_n+{2\over a_n})$ rekurzióval megadott sorozat? Ha igen, határozzuk meg a határértékét.

A konvergenciát azon elegendő feltétel alapján bizonyítjuk, miszerint egy korlátos és monoton sorozat konvergens. A korlátosság belátásához a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget használjuk:
${1\over2}(a_n+{2\over a_n})\geq\sqrt{a_n\cdot{2\over a_n}}=\sqrt2$.

A sorozat (szigorúan) monoton csökkenő, mivel $a_n-a_{n+1}={1\over{2a_n}}(a_n^2-2)>0$, hiszen a szorzat első tagja pozitív, mert egy pozitív tagú sorozatról van szó, a második tényező pedig az fent talált alsó korlát miatt pozitív. A rekurzív összefüggést és a határérték unicitását kihasználva adódik, hogy:
$a_{n+1}={1\over2}(a_n+{2\over a_n})$

$\downarrow        \downarrow    \downarrow$

$\alpha          \alpha     {2\over\alpha}$

Ezért az $\alpha$ hatérértékre egyrészt teljesül, hogy nemnegatív, hiszen pozitív tagú sorozat határértéke, másrészt $\alpha={1\over2}(\alpha+{2\over\alpha})\Rightarrow \alpha=\sqrt2$.