Példa [Euler-Poisson integrál]

$I=\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx=$?

Megoldás.

$I^2=\int\limits_0^\infty e^{-x^2} dx\int\limits_0^\infty e^{-y^2} dy= \int\limits_0^\infty e^{-x^2}\int\limits_0^\infty e^{-y^2} dy dx=$

$\int\limits_0^\infty \int\limits_0^\infty e^{-x^2}e^{-y^2} dydx \int\limits_0^... ...2+y^2)} dydx=\int\limits_0^{\pi\over2}\int\limits_0^\infty e^{-r^2}r drd\phi =$

$-{1\over2}\lim\limits_{R\rightarrow\infty}\int\limits_0^{\pi\over2}\int\limits_... ...lim\limits_{R\rightarrow\infty}\int\limits_0^{\pi\over2} [e^{-r^2}]_0^R d\phi=$

$-{1\over2}\lim\limits_{R\rightarrow\infty} (e^{-R^2}-1)\int\limits_0^{\pi\over2} 1 d\phi={\pi\over4}\Rightarrow I={\sqrt \pi\over 2}$.