Racionális törtfüggvények integrálása

1. Lépés: Polinomosztás

$H(x)={f(x)\over g(x)}, deg f\geq deg g$ polinomosztás, ha nem 1. lépés kimarad.

Példa. $x^5+x^3+1:x^2+1=x^3, m=1\Rightarrow H(x)=P(x)+h(x)  (h(x)={f_1(x)\over g(x)})$ s a fokszám a számlálóban kisebb

2. Lépés: Faktorizáció R test felett

$g(x)=A\cdot(x-\alpha_1)^{r_1}\dots (x-\alpha_k)^{r_k}(x^2+b_1x+c_1)^{s_1}\dots$

ahol a faktorok irreducibilisek.

3. Lépés: Parciális törtre bontás

A parciális törtek $(x-\alpha)^r$ esetén ${A_1\over x-\alpha},\dots,{A_r\over (x-\alpha)^r}  (A_i \in R)$

A parciális törtek $(x^2+bx+c)^s$ esetén ${B_1x+C_1\over x^2+bx+c},\dots,{B_sx+C_s\over (x^2+bx+c)^s}  (B_i, C_i \in R)$

4. Lépés A parciális törtek integrálása

Az eljárás sikere azon múlik, hogy ez mindig megtehető.

4a. Lineáris faktorokhoz tartozó parciális törtek integrálása

$\int{A\over x-\alpha} dx=A \ln\vert x-\alpha\vert$

$\int{A\over (x-\alpha)^r} dx= {A\over -r+1}x^{-r+1}  (r\not=1)$

4b. Másodfokú irred. faktorokhoz tartozó parciális törtek integrálása

$\int{Ax+B\over(x^2+bx+c)} dx={A\over 2}\int{(2x+b)+({2B\over A}-b)\over(x^2+bx+c)}$

$={A\over2}\ln(x^2+bx+c)+{A\over2}({2B\over A}-b)\int {dx\over{x^2+bx+c}}^*$

$^*\int {dx\over(x^2+bx+c)}=\int{dx\over(x+{b\over2})^2+(c-{b^2\over4})}={1\over\sqrt{c-{b^2\over4}}}\arctan\left({x+{b\over2}\over\sqrt{c-{b^2\over4}}}\right)$

$\int{Ax+B\over(x^2+bx+c)^2}$ Szétszedjük lineáris számlálójú $(2x+b)$ és konstans számlálójú törtre. Az elsőt helyettesítéssel, a másodikat rekurzióval intézzük el.

Példa

$\int {1\over{x^2-5x+6}} dx=\int {1\over{(x-2)(x-3)}} dx=\int {1\over{x-3}}-{1\o... ...\over{x-2}} dx=\ln\vert x-3\vert-\ln\vert x-2\vert=\ln\vert{x-3\over{x-2}}\vert$

Példa

$\int {{5x-6}\over{x^2-2x+10}} dx={5\over2}\int {2x-{12\over5}\over{x^2-2x+10}} dx= {5\over2}\int {2x-2\over{x^2-2x+10}} dx-\int {1\over{x^2-2x+10}} dx=$

${5\over2}\ln(x^2-2x+10)-{1\over3}\arctan ({x-1\over3})$

Példa

$\int{1\over x^3-8} dx=\int{1\over(x-2)(x^2+2x+4)} dx^*$

${A\over x-2}+{Bx+C\over x^2+2x+4}={A(x^2+2x+5)+(Bx+C)(x-2)\over(x^3-8)}$

$\matrix{A+B&=0 \cr 2A-2B+C&=0\cr 4A-2C&=1} \Rightarrow A={1\over12} B=-{1\over12} C=-{1\over3}$

$^*=\int{{1\over12}\over x-2} dx-{1\over24}\int{(2x+2)+6\over x^2+2x+4} dx=$

$={1\over12}\ln \vert x-2\vert-{1\over24}\ln(x^2+2x+4)-{1\over4}\int{1\over(x+1)^2+(\sqrt3)^2} dx$

$={1\over12}\ln \vert x-2\vert-{1\over24}\ln(x^2+2x+4)-{1\over4\sqrt3}\arctan({x+1\over\sqrt3})$