Rekurzív formulák I. $I_n=\int\sin^n x dx (n\in N)$

Alapformulák

$n=1:  I_1=\int \sin x dx=-\cos x$

$n=2:  I_2=\int\sin^2x dx=\int {1-\cos(2x)\over2}dx={x\over2}-{\sin(2x)\over4}$

$n=3:  I_3=\int\sin^3 dx=\int\sin^2x\cdot\sin x dx=-\int (1-\cos^2 x)\cdot(-\sin x) dx=-\int 1-y^2 dy=-y+{y^3\over3}=-\cos x+{\cos^3 x\over3}$

Sőt ha $n$ páratlan, akkor is hasonló ötlettel polinom integrálására redukáható a probléma. Sajnos a páros esetben nem.

A rekurzív formula előállítása

A rekurzív formula előállításához a parciális integrálás technikáját alkalmazzuk. $n\geq4$

$I_n=\int\sin^n dx=\int \sin^{n-1}x\cdot\sin x dx=-\cos x\sin^{n-1} x-\int(-\cos x)(n-1)\sin^{n-2}x\cos x dx=^*$

$P:f'=\sin x\Rightarrow f=-\cos x$ $g=\sin^{n-1}x\Rightarrow g'=(n-1)\cdot\sin^{n-2}x\cdot\cos x$

$^*=-\cos x\sin^{n-1} x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\cdot \cos^2x dx=$

$-\cos x\sin^{n-1} x+(n-1)\int\sin^{n-2}x(1-\sin^2x) dx=$

$-\cos x\sin^{n-1} x+(n-1)\int\sin^{n-2}x- \sin^nx dx=-\cos x\sin^{n-1} x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\Rightarrow$

$nI_n=-\cos x\sin^{n-1}x-(n-1)I_{n-2}\Rightarrow I_n={-\cos x\sin^{n-1}x\over n}-{n-1\over n}I_{n-2}$

Kiterjesztés

Sőt a rekurzív formula átrendezéssel negatív egész kitevős hatványokra is kiterjeszthető; ehhez az alaplépések:

$\int{1\over{\sin x}} dx=\int{1\over2\tan{x\over2} \cos^2{x\over2}} dx=\int{du\over u}=\ln\vert\tan{x\over2}\vert$

$\int{1\over \sin^2x}=-\cot x$

Hasonlóan $\int \tan^n x dx, \int \cot^n x dx, \int \cos^n x dx (n\in N)$.