Vonalintegrálok

Definíció

Legyen $L=AB$ irányított egyszerű görbe egy beosztása $A=Z_0,Z_1,...,Z_n=B  (Z_i=(x_i,y_i))$ és legyen $P(x,y)$ és $Q(x,y)$ L-en értelmezett, $K_i$ a $Z_{i-1}Z_i$ ív tetsző leges pontja. Képezzük a következő közelítő összeget: $s_L=s(P,Q,{Z_i},K_i)=\sum P(K_i)(x_i-x_{i-1})+Q(K_i)(y_i-y_{i-1})$. Ha ez a beosztás minden határon túli finomítása esetén tart egy értékhez, akkor ezt a $P,Q$ függvények $L$ menti integráljának nevezzük.

Megjegyzések

1. Hasonló műveleti szabályok érvényesek mint a közönséges integrál esetén. 2. Ha nem egyszerű a görbe, akkor megpróbáljuk ilyenekből összetenni, s a szakaszokon a vonalintegrál már értelmezett, így az összetett görbén a vonalintegrál a szakaszokon vett integrálok összege. 3. Nem definició szerint számolunk, hanem visszavezetjük a vonalintegrál kiszámítását közönséges integrálok meghatározására. 4. Nevezetes probléma annak eldöntése, milyen szükséges és elegendő feltétellt lehet adni az integrál úttól való függetlenségére. 5. Alkalmazás. Munkavégzés (speciálisan konzervatív erőterekben): A vonalintegrál fizikailag interpretálható úgy, mint egy változó $(P(x,y),Q(x,y))$ erő egy $C$ integrációs út (görbe) mentén végzett munkája. 6. 3 változós függvények esetén is értelmezhető vonalintegrál.

Tétel

Tegyük fel, hogy $L:(x(t),y(t)) (\alpha\leq x\leq\beta)$ egyszerű és síma $P(x(t),y(t)),$ $Q(x(t),y(t))$ pedig folytonosak a paramétertartományon. Ekkor:

$\int\limits_LPdx+Qdy =\int\limits_\alpha^\beta P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t) dt$

Példa

Határozzuk meg a következő vonalintegrált, ahol $C$ a standard ellipszis felső része, negatív irányban bejárva: $\int\limits_Cy^2dx+x^2dy$. Megoldás. $\int\limits_{\pi}^0 b^2\sin t(-a\sin t)+a^2\cos^2t dt=-ab^2\int\limits_{\pi}^0\sin^3 t dt+a^2b\int\limits_{\pi}^0\cos^3 t dt={4\over3}ab^2.$

Példa

Egy mezőt a konstans nagyságú, az x-tengely pozitív fele által kijelölt irányú $F$ erő generál. Határozzuk meg a mező által végzett munkát, ha egy pont az $R$ sugarú, origó centrumú negyedkörön halad végig az első síknegyedben, az óra járásával megegyező irányban.

Megoldás. $P(x,y)=F, Q(x,y)=0\Rightarrow F_f=\int\limits_{\pi\over2}^0 -FR\sin t dt =FR[\cos t]_{\pi\over2}^0=FR$.