Határozott integrál

A második alapfeladat: Határozzuk meg egy $f$ függvény grafikonja alatti területet, azaz egy kicsit pontosabban: határozzuk meg az $y=0$, $x=a$, $x=b$ egyenletű egyenesek és a nemnegatív $f$ függvény grafikonja által határolt síktartomány (görbevonalú trapéz) területét.

Megoldás: Ha $f$ integrálható $[a,b]$-n, akkor $T=\int_a^b f(x) dx$.

Tétel

Newton-Leibniz formula, Ha $F$ az $f$ egy primitív függvénye, akkor $\int_a^b f(x) dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a).$

Példa

Határozzuk meg az $f(x)=x^2$ képlettel adott függvény grafikonja alatti területet, ha $a=0$ és $b=1$.

Megoldás: $T=\int_a^b f(x) dx=\int_0^1 x^2 dx=\left[{x^3\over3}\right]_0^1={1\over3}$.

Megjegyzés

Ha az előző problémafelvetésben a $f$-re vonatkozó nemnegativitási feltételt elhagyjuk, akkor a határozzott integrál értéke előjeles területet ad, vagyis pl. $\int_0^{2\pi} \sin(x) dx=0$, jóllehet a keltkező síktartomány területe nyilván nem $0$, hanem $4$.

Különböző függvénygrafikonok által határolt síktartományok

Ha $f(a)=g(a)$ és $f(b)=g(b)$, továbbá $\forall x \in (a,b): f(x)>g(x) \Rightarrow$ a 2 függvénygrafikon által határolt terület $T=\int f(x) dx-\int g(x) dx=\int f(x)-g(x) dx$. Ezért a következő lépéseket kell elvégeznük:

• Metszéspontok koordinátáinak meghatározása
• Meg kell állapítanunk, hogy az $f$ vagy a $g$ nagyobb. Tegyük fel, hogy az $f$ bizonyult nagyobbnak
• Meghatározzuk az $\int f(x)-g(x) dx$ értéket.

Példa

Határozzuk meg az $f(x)=-x^2+1$ és a $g(x)=x^2$ grafikonjai által határolt síktartomány területét.

Megoldás: A két metszéspont koordinátája $x_1={-1\over{\sqrt2}}$, $x_2={1\over{\sqrt2}}$ és az $(x_1,x_2)$ intervallumon $f$ nagyobb mint $g$. Ezért $T=\int_{-1\over{\sqrt2}}^{1\over{\sqrt2}} (-x^2+1)-x^2 dx= \left[-{2\over3}x^3+x\right]_{-1\over{\sqrt2}}^{1\over{\sqrt2}}={2\over3}\sqrt2$.

Példa

Határozzuk meg az $f(x)=x^3-2x^2-2x+1$ és a $g(x)=x+1$ grafikonjai által határolt síktartomány területét.

Megoldás: A metszéspontok x-koordinátái $x_1=-1$, $x_2=0$, és $x_3=3$, az $(x_1,x_2)$ intervallumon $f$ nagyobb mint $g$, az $(x_2,x_3)$ intervallumon viszont $g$ nagyobb mint $f$. Ezért $T=\int_{-1}^0 (x^3-2x^2-2x+1)-(x+1) dx- \int_0^3 (x+1)-(x^3-2x^2-2x+1) dx= ... ...over4}x^4+{2\over3}x^3+{3\over2}x^2\right]_0^3={7\over12}+{45\over4}={71\over6}$.

Helyettesítés határozott integrál esetén

A helyettesítés ugyanúgy történik mint a primitív függvény keresésénél. csak most a határok is megváltoznak. Ezért $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(y)dy=\left[F(y)\right]_{g(a)}^{g(b)}$.

Példa

Határozzuk meg az egység sugarú (negyed-)kör területét. Megoldás: Az origó középpontú 1 sugarú kör egyenlete : $x^2+y^2=1$, ezért az első síknegyedet választva az explicit függvénykapcsolatot az $y=\sqrt{1-x^2}$ képlet írja le. A meghatározandó integrál tehát: $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$. Alkalmazzuk a $x=\sin(y)$ helyettesítést. $\Rightarrow dy={1\over{\sqrt{1-x^2}}} dx$

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx=\int_0^{\pi\over2} 1-\sin^2(y) dy=\int_0^{\pi\over2} \... ...\cos(2y) dy={1\over2}\left[y+{\sin(2y)\over2}\right]_0^{\pi\over2}={\pi\over4}$.

Ezért az egészkörnek a területe $\pi$, és a hasonlóság miatt az R sugarú kör területe $T=R^2\cdot \pi$.

2. Megoldás. Ha ismerjük a polárkoordinátákra vonatkozó területképletetet, akkor gyorsabban célhoz érünk: $T={1\over2}\int_\alpha^\beta r^2(\phi) d\phi={1\over2}\int_0^{2\pi} R^2 d\phi=R^2\pi$.

Példa

Egy test gyorsulása a '$t$'-edik másodpercben: $a(t)=3\sin(2t) [{m\over{s^2}}]$, továbbá tudjuk, hogy $v(0)=1$ és $s({\pi\over2})=2$. Mennyi utat tesz meg '$t$' másodperc elteltével? Mennyi az átlagsebessége a $t_1=\pi$ és a $t_2=2\pi$ közötti időintervallumban?

Megoldás: $v(t)=\int a(t) dt+C_1=\int 3\sin(2t) dt+C_1=-{3\over2}\cos(2t)+C_1$, és mivel $v(0)=1$, így $C_1={5\over2}$. $s(t)=\int v(t) dt+C_2=\int {5\over2}-{3\over2}\cos(2t) dt+C_2={5\over2}t-{3\over4}\sin(2t)+C_2$, és mivel $s({\pi\over2})=2$, így $C_2=2-{5\pi\over4}$.

Példa

Határozzuk meg az $a$ és $b$ paraméterű ellipszis területét.

Megoldás: Az ellipszis paraméteres előállítása és a paraméteres előállításban megadott görbe által határolt síktaromány területe:

$x(t)=a\cos t y(t)=b\sin t (0\leq t\leq2\pi)  T={1\over2}\int_\alpha^\beta x(t)y'(t)-x'(t)y(t)dt$.

Ezért: $T_e={1\over2}\int_0^{2\pi}a\cos tb\cos t-(-a\sin t)b\sin t dt={1\over2}ab\int_0^{2\pi}1 dt=ab\pi$.

Példa

Határozzuk meg az $R$ sugarú kör kerületét.

Megoldás: Az origó középpontú $R$ sugarú felső félkör egyenlete és a ívhossz képlete: $y=\sqrt{R^2-x^2} (-R\leq x\leq R)  s=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$

Ezért: $K_{1/2}=\int_{-R}^R\sqrt{1+{x^2\over{R^2-x^2}}} dx=\int_{-R}^R {dx\over\sqrt{1-({x\over R})^2}}= R\int_{-1}^1 {du\over{\sqrt{1-u^2}}}=R\pi$.

2. Megoldás: A paraméteres megadás szerint számolva $x(t)=R\cos t y(t)=R\sin t (0\leq t\leq 2\pi)   s=\int_\alpha^\beta \vert\bf\dot r\rm (t)\vert dt=\int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} dt$

Ezért: $s=\int_0^{2\pi} \sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2} dt=R\int_0^{2\pi}1 dt=2R\pi$.

Példa

Határozzuk meg az $R$ sugarú és $m$ magasságú egyenes körkúp térfogatát.

Megoldás: Az egyenes körkúpot forgástestként tekinthetjük, ha az $f(x)={R\over m}x$ egyenest $(0\leq x\leq m)$ megforgatjuk az $x$ tengely körül.

Ezért: $V=\pi\int_a^b f^2(x) dx=\pi\int_0^m{R^2\over m^2}x^2 dx= \pi{R^2\over m^2}[{x^3\over3}]_0^m={\pi R^2m\over3}$.

Példa

Határozzuk meg az $R$ sugarú gömb térfogatát.

Megoldás: Az $y=\sqrt{R^2-x^2} (-R\leq x\leq R)$ egyenletű görbét megfogatva az $x$ tengely körül: $V=\pi\int_{-R}^R R^2-x^2 dx=\pi[R^2x-{x^3\over3}]_{-R}^R={4\over3}\pi R^3$.