Univerzális helyettesítések, redukció

$\int R(\sin x,\cos x) dx$

$\int{1\over \sin x} dx=\ln\vert\tan{x\over2}\vert$ - De honnan jön az ötlet?

Trigonometrikus kifejezések racionális kifejezéseinek integrálásánál a $u=\tan{x\over2}$-es helyettesítés mindig alkalmazható, s ezzel az integrálási probléma racionális törtfüggvény integrálására redukálható. Ekkor:

$du=(1+\tan^2{x\over2})\cdot{1\over2}dx \Rightarrow dx={2\over1+u^2}du$

$\cos x=2\cos^2{x\over2}-1={2\over u^2+1}-1={1-u^2\over1+u^2}$

$\sin x=2\tan{x\over2}\cos^2{x\over2}={2u\over u^2+1}$

Példa

$\int{1\over2\sin x-\cos x+5} dx=\int{2\over6u^2+4u+4} du \dots$

$\int R(e^x) dx$

Az $e^x=u (dx={du\overu})$ helyettesítéssel racionális törtfüggvény integrálására redukálható.

Példa

$\int{e^{2x}\over1+e^{2x}} dx=\int{u\over 1+u^2} du={1\over2}\ln(1+e^{2x})$

'Síma' helyettesítéssel is kijön, lehet az univerzálisnál ügyesebb, jobb egyedi ötlet.