Tárgy neve: Algebra és számelmélet gy. (lev. BSc)

Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék

Tematika:
Műveletek (asszociatív, kommutatív, idempotens, egységelem, zéruselem, inverz, disztributív tulajdonságok, nevezetes példák). A gyűrű, az integritástartomány és a test fogalma, nevezetes példák (számgyűrűk és számtestek, maradékosztály-gyűrűk és maradékosztálytestek, mátrixgyűrűk). A polinom fogalma, test feletti polinomgyűrű. Oszthatóság, maradékos osztás, lnko és lkkt, euklideszi algoritmus, kétismeretlenes lineáris diofantoszi egyenlet, kongruencia, maradékosztályok, maradékosztály-gyűrű, lineáris kongruencia, multiplikatív inverz mod f. Polinom és polinomfüggvény, Lagrange-interpoláció, polinomok (többszörös) gyökei, Bézout tétele, (iterált) Horner-módszer. Irreducibilis polinomok, egyértelmű irreducibilis faktorizáció. Viéte-formulák, irreducibilis faktorizáció a komplex, valós és racionális számtest fölött, Schönemann--Eisenstein-tétel, Rolle-tétel. Polinomgyűrű faktorteste mint egyszerű algebrai bővítés, véges testek konstrukciója. Derivált, polinomok közös, ill. többszörös gyökei. A csoport, mint absztrakt struktúra, művelettáblázat, izomorfia, izomorfizmus. Nevezetes példák: számok, (redukált) maradékosztályok, mátrixok, lineáris csoportok, diédercsoportok, kvaterniócsoport. Páros és páratlan permutációk, szimmetrikus és alternáló csoportok. Permutációs játékok (ismertetés). Hatványozás, elem rendje, ciklikus csoport és részcsoportjai. Részcsoport, generálás. Mellékosztályok, Lagrange tétele. Alkalmazás összeszámlálási feladatokra. Teljes és redukált maradékrendszerek, az Euler-féle fi függvény, Euler--Fermat-tétel, rend modulo m, primitív gyökök, index. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. Titkosírások, nevezetes számelméleti problémák (ismertetés). Algebrai struktúrák (példák, hálószerűen rendezett halmazok és hálók ekvivalenciája).

Gyakorlat kódja: MBLK13G, óraszám: 10, kredit: 0