Az 1970-es évektől igen gyümölcsözóen használható kombinatorikus számelméletben az ergodelmélet, melyet H. Fürstenberg, V. Bergelson és mások indítottak el (Fürstenberg adta a Szemerédi tétel második bizonyítását).
Az előadásban Bergelson egy szép tételét --- nevezetesen, hogy egy "sűrű" sorozat különbséghalmaza bővelkedik aritmetikai tulajdonsággal -- fogunk elemi/kombinatorikus megközelítésben bizonyítani. (E tételre teljesen kombinatorikus bizonyítást én adtam, később Ruzsával egy harmadik bizonyítást is adtunk).
Az előadás második felében egy bonyolultságelméleti kérdést is vizsgálunk, melyben egy érdekes párosítási tételt használunk. A felhasznált eszközök Ramsey, Erdős-Radó, van der Waerden típusú tételek lesznek.
Egy teljes gráf éleit színezzük 2 színnel. Ismert, hogy ekkor található monokromatikus feszítőfa. Hány csúcsú teljes gráfot kell venni ahhoz, hogy m élű monokromatikus párosítást találjunk? Mi ismert más részstruktúrákra? Utakra, körökre.
Tekinthetjük a fenti problémákat geometriai gráfokon vagy topológikus gáfokon. Ekkor olyan monokromatikus részeket keresünk, melynek élei páronként nem metszők. Ennek egy speciális esete a twisted gráf, mikor a lehető legtöbb metszéssel van lerajzolva az alapgráf. Ez vezetett el minket arra, hogy a kérdést rendezett csúcshalmazon vizsgáljuk.
Vegyünk az 1,2...,k rendezett halmazon egy teljes gráfot. Két él kölcsönös helyzete háromféle lehet: szeparált, metsző vagy ölelkező. Ezek alapján 6-féle megszorítást tehetünk a keresett monokromatikus részstruktúrára. Ezekről a kérdésekről fogok beszélni.
Közös eredmények Gyárfás Andrással, Tóth Gézával
A rúdszerkezetek merevségének vizsgálata fontos kérdés a statikában.
Ennek során már Maxwell (1864) is gráfelméleti eszközöket használt és az utóbbi fél évszázadban különösen sok érdekes eredmény született.
Az előadás (mely semmilyen statikai előismeretet nem igényel) ezekből mutat be néhányat és nyitott problémákat is ismertet.
The most number of sets without two of them being disjoint
was determined by Erdős, Ko, and Rado both in the uniform and in the
non-uniform case. The most number of sets in a set system without $s$
pairwise
disjoint sets is not completely determined neither in the uniform case
(Erdős matching conjecture) nor in the non-uniform case (Kleitman's
problem).
In this talk, I shall give a brief history of these problems, show
some new results, and introduce a general setting for considering
disjointness patterns. Based on joint work with Ryan Martin.
A kombinatorikus diszkrepancia alapkérdése (kissé pongyolán megfogalmazva) a következő:
Egy véges $X$ halmazon meg van adva egy $S$ halmazrendszer.
Az $X$ halmaz elemeit két színnel színezzük - mekkora
a maximális "színbeli kiegyensúlyozatlanság", amit nem tudunk
elkerülni $S$ élein, akárhogy is színezzük $X$ elemeit?
Nemcsak számos cikk, könyvek is születtek már diszkrepancia
elméletből.
A feladat antidiszkrepancia változata: keressünk olyan $S$ élt,
aminek a kiegyensúlyozatlansága kicsi, akármi is a színezés!
Legyen most $V$ egy $n$ elemű halmaz, $G$ egy egyszerű gráf $V$
ponthalmazzal. A fenti $X$ halmaz szerepét $G$ élei játsszák,
az $S$ halmazrendszer élei pedig $G$ Hamilton-körei. Tehát
színezzük $G$ éleit, és keresünk nagy/kicsi diszkrepanciájú
Hamilton-kört.
Az utóbbi években több diszkrepancia témájú cikk jelent meg
ebben a kérdéskörben, hipergráfos változatokat is
vizsgálnak már.
A kérdés egy újabb változatában nem színezünk. Ehelyett a $G$ gráf irányított, és olyan Hamilton-kört keresünk, amiben az élek többsége a kör egy körüljárásával megegyező irányú (diszkrepancia), illetve olyat, amiben közel ugyanannyi él található mind a két irányban (antidiszkrepancia).
Friss eredmény (Freschi és Lo), hogy ha $G$ (irányítatlan) minimális foka $\ge n/2 + k$ ($k>0$ egész), akkor van olyan Hamilton-kör, amin legalább $n/2+k$ él ugyanabba az irányba mutat. Tehát a diszkrepanciája $\ge 2k$. Ez az állítás éles.
London András egy új eredménye: ha a fenti $k=\Omega(n^{2/3}\sqrt{\log n})$,
akkor van legfeljebb $O(n^{2/3})$-os antidiszkrepanciájú Hamilton-kör.
Ennek az eredménynek egy javításáról lesz szó:
ha $k\ge500$ ($500$ garantáltan elég nagy itt), tehát $G$ (irányítatlan)
minimális foka legalább $n/2+500$, akkor van $G$-nek olyan Hamilton-köre, amiben
legfeljebb $1000$ az ellenkező irányba mutató élek számának különbsége, azaz az
antidiszkrepancia. A tétel Ryan Martinnal közös munka eredménye.
Fontos szegedi vonatkozás: a fenti gráfelméleti diszkrepancia vizsgálatok ötletadója, elindítója, többször szerzője kollégánk, Pluhár András.
Két, azonos csúcshalmazon definiált, $G_1$ és $G_2$ gráf szimmetrikus differenciája az a gráf, melynek csúcshalmaza megegyezik a $G_1$ és $G_2$ gráfok csúcshalmazával, és amelynek éleit azok a csúcspárok alkotják, melyek a $G_1$ és $G_2$ gráfok pontosan egyikében szomszédosak.
Érdekes megvizsgálni, hogy egy $n$ méretű közös csúcshalmazon legfeljebb mennyi gráf adható úgy, hogy közülük bármely kettő szimmetrikus differenciája kielégítsen valamilyen előírt feltételt. Ha például azt a feltételt választjuk, hogy ez a differencia legalább $d$ élet tartalmazzon, akkor visszakapjuk a klasszikus kódelméleti kérdést: Legfeljebb mennyi $m$ hosszú bináris kód adható úgy, hogy közülük bármely kettő legalább $d$ helyen különbözzön? Meggondolható, hogy $m = \binom{n}{2}$ választással ez tényleg ugyanaz a probléma, ha a bináris kódokra úgy tekintünk, mint az $n$ csúcsú gráfok élhalmazait leíró karakterisztikus vektorokra.
Azonban vizsgálhatunk általánosabb tulajdonságokat is, mint például az összefüggőséget vagy azt, hogy van-e Hamilton-út a gráfban vagy akár egy-egy rögzített részgráf tartalmazását is.
Ebben az előadásban néhány eredményt szeretnék ismertetni egy erről a problémakörről szóló cikkünkből, melynek társszerzői Alon, Körner, Milojević és Simonyi.
Az irányítatlan gráfok esetén domináló halmaznak nevezzük a csúcsok egy részhalmazát, ha minden rajtuk kívüli csúcsnak létezik szomszédja a domináló halmazból. Totálisan dominálónak pedig pontosan akkor, ha a gráf bármely csúcsára igaz ez, azaz ha a szomszédságok uniója lefedi a csúcshalmazt. A minimális méretű domináló/totálisan domináló halmaz méretét a gráf dominálási/totális dominálási számának nevezzük.
Irányított gráfok esetén a két fogalom analóg módon általánosítható, de egy csúcs csak azokat a csúcsokat "dominálja", amikbe vezet belőle él. Az irányított értelemben vett dominálási/totális dominálási szám is analógan definiálható.
Ha adott egy $G$ irányítatlan gráf, akkor a (felső) megirányítható totális dominálási száma (upper orientable total domination number) az a szám, ami a maximuma azoknak az irányított értelemben vett totális dominálási számoknak, ahol az irányított gráfot úgy kapjuk, hogy vesszük az irányítatlan gráf összes lehetséges megirányítását.
Szeretnék az ÚNKP témavezetettemmel közös kutatásról mesélni, amiben azt az esetet vizsgáljuk, amikor ez a megirányítható totális dominálási szám közel van a gráf csúcsszámához.