Integrálás helyettesítéssel

Lemma

Ha $f$ egy primitív függvénye $F$, akkor $\int f(g(x))g'(x) dx=F(g(x))$, amit formálisan úgy alkalmazhatunk, hogy $g(x)$ helyébe egy új változót, mondjuk $y$-t helyettesítünk, $g'(x)dx$ helyébe pedig $dy$-t, azaz:

$$\int f(g(x))g'(x) dx=\int f(y)dy=F(y)$$

Megjegyés

Tulajdonképpen már az egyik előző feladatmegoldásnál is burkoltan ezt a módszert alkalmaztuk, hiszen

$\int \sin^2(x) dx=\int {1-\cos(2x)\over2} dx$, és itt $2x=y, 2dx=dy$ helyettesítés miatt

$\int \cos(2x) dx={1\over2}\int {\cos(2x) 2dx}={1\over2}\int \cos(y) dy={1\over2}\sin(y)= {sin(2x)\over2}$

Megjegyzés

Ha ezt a módszert szeretnénk alkalmazni, először meg kell próbálnunk leválasztani a $g'(x)dx$ kifejezést: $\int {x\over{2x^2+1}} dx={1\over4}\int {4x\over{2x^2+1}} dx={1\over4}\int {dy\over y}={1\over4}\ln\vert y\vert={1\over4}\ln(2x^2+1)$

Példa

$\int \sin^3(x) dx=\int \sin^2(x)\sin(x) dx=-\int (1-\cos^2(x))(-\sin(x)) dx=$

$-\int 1-y^2 dy={1\over3}y^3-y={1\over3}\cos^3(x)-\cos(x)$