Parciális integrálás

Lemma

Mivel $[fg]'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$, ezért

$$\int f(x)'g(x) dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x) dx$$

Példa

$\int \sin^2(x) dx=\int \sin(x)\sin(x) dx=$

$-\sin(x)\cos(x)-\int-\cos(x)\cos(x) dx=$

$-\sin(x)\cos(x)+\int 1-\sin^2(x) dx \Rightarrow \int \sin^2(x) dx={x-\sin(x)\cos(x)\over2}$

Megjegyzés

Egy feladatra több megoldás is létezhet és sokszor célszerű integrandusunkat átalakítani, mielőtt integrálni kezdenénk, így pl. egy másik lehetőség az előző integrálás meghatározására a 'linearizálás':

$\int \sin^2(x) dx=\int {1-\cos(2x)\over2} dx={x\over2}-{\sin(2x)\over4}$

Példa

$\int \ln(x) dx=\int 1\cdot\ln(x) dx=x\ln(x)-\int x{1\over x} dx=x\ln(x)-x$

Példa

$\int x^2e^x dx=x^2e^x-\int e^x(2x) dx=x^2e^x-2[xe^x-\int e^x dx]=x^2e^x-2xe^x+2e^x=e^x(x^2-2x+2)$