Integrálási szabályok és eljárások

Legegyszerűbb szabályainkat a differenciálási szabályok megfordításával kapjuk.

Hatványfüggvények integrálása

Mivel $\left({x^{\alpha+1}\over{\alpha+1}}\right)'=x^\alpha$, ezért

$$\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over{\alpha+1}}$$

Példa

$\int x^2 dx={1\over3}x^3$ $\int {1\over\sqrt x} dx=\int x^{-{1\over2}} dx={x^{1\over2}\over{1\over2}}=2\cdot\sqrt x$

Az integrál linearitása

Ha $f$-nek és $g$-nek létezik a határozatlan integrálja továbbá $c\in\Re$, akkor a következő baloldali integrálok léteznek és

• $\int cf(x) dx=c\int f(x) dx$
• $\int [f+g](x) dx=\int f(x) dx+\int f(x) dx$

Példa

$\int 3x^2+2x dx=\int 3x^2 dx+\int 2x dx=3\int x^2 dx+2\int x dx= 3\cdot{1\over3}x^3+2\cdot{1\over2}x^2=x^3+x^2$

Elemi függvények határozatlan integráljai

• $\int \sin(x) dx=-\cos(x), \int \cos(x) dx=\sin(x)$

• $\int e^x dx=e^x, \int{1\over x} dx=\ln(x)$