Lineáris algebra II

A vektortér fogalma, nevezetes példák. Az altér fogalma, alterek megadása generátorrendszerrel és homogén lineáris egyenletrendszer megoldástereként. Alterek metszete és összege.

• jegyzet: 1.1 – 2.30
• Markov Chain Simulator
• Iskolatáska

Altérháló. A lineáris függetlenség ekvivalens definíciói. Bázis ekvivalens definíciói, generátorrendszer bázissá szűkítése, lineárisan független vektorrendszer bázissá bővítése, vektor koordinátái adott bázisban, vektorterek izomorfizmusa. Kicserélési tétel, a dimenzió fogalma, altér dimenziója, alterek dimenziótétele.

• jegyzet: 2.31 – 2.58

Alterek direkt összegének ekvivalens leírásai. Vektorrendszer és mátrix rangja, mátrixok rangszámtétele, Kronecker–Capelli-tétel, szorzatmátrix rangja.

• jegyzet: 2.59 – 2.76
• lámpakapcsolgatós játék

A lineáris leképezés fogalma, nevezetes példák, műveletek lineáris leképezésekkel. Lineáris leképezés magtere és képtere, rang plusz nullitás tétel és következményei.

• jegyzet: 3.1 – 3.19

Projekciók és idempotens transzformációk. Lineáris leképezés mátrixa, összhang a mátrixműveletekkel, áttérés más bázisra.

• jegyzet: 3.20 – 3.38
• Galois-kapcsolatok (pdf)
• Fogalomháló-rajzoló program
• Fano plane (Wikipedia)

Mátrixok hasonlósága, lineáris transzformáció mátrixa különböző bázisokban. Invariáns alterek direkt összege, lineáris transzformáció szép mátrixa. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér, karakterisztikus polinom, sajátalterek összege mindig direkt összeg.

• jegyzet: 3.39 – 4.17
• Lineáris transzformáció illusztrálása kutyával, macskával és iterációval.

Sajátérték algebrai és geometriai multiplicitása, a kettő kapcsolata. Mátrix diagonalizálhatósága, szükséges és elegendő feltételek a diagonalizálhatóságra. Alkalmazás: Markov-láncok, PageRank. Mátrix minimálpolinomja, a minimálpolinom létezése és egyértelműsége.

• jegyzet: 4.18 – 4.36
• Markov-láncok (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Polinommátrix vs. mátrixpolinom, a Cayley–Hamilton-tétel bizonyítása. Komplex mátrix általánosított sajátvektorai, általánosított sajátvektorokból álló bázis létezése.

• jegyzet: 4.37 – 5.8

Nilpotens lineáris transzformációk szerkezete, Jordan-lánc és Jordan-bázis, komplex mátrix Jordan-normálalakja. A bilineáris függvény fogalma, bilineáris függvény mátrixa és koordinátás alakja.

• jegyzet: 5.9 – 6.5

Bázisátmenet bilineáris függvényeknél, szimmetrikus bilineáris függvények. Kvadratikus alakok számtestek fölött, polarizációs azonosság, nemelfajuló lineáris helyettesítés, kanonikus alakra hozás. Valós kvadratikus alakok normálalakja, tehetetlenségi tétel, definitségi osztályok.

• jegyzet: 6.6 – 6.28
• Kvadratikus alakok szintvonalai és szintfelületei (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Pozitív definit mátrix „négyzetgyöke”. Az euklideszi tér fogalma, nevezetes példák, norma és szög, CSÉB-egyenlőtlenség és háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszerek, ortonormált bázis, ONB-ben szép az élet. Vektor felbontása adott altérbe eső és arra merőleges komponens összegére.

• jegyzet: 6.29 – 6.49
• Illusztráció a jegyzetbeli 6.46. és 6.49. feladatokhoz (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).

Gra–Schmidt-ortogonalizáció, mátrixok QR-felbontása, ortonormált vektorrendszer ONB-vé bővítése. Euklideszi terek izomorfizmusa. Altér ortogonális komplementuma, kapcsolat a lineáris egyenletrendszerekkel (fekete mágia), altér előállítása hipersíkok metszeteként. Lineáris transzformáció adjungáltja, önadjungált és ortogonális transzformációk.

• jegyzet: 6.50 – 6.71

A sík és a tér ortogonális transzformációinak leírása, az ortogonális mátrixok jellemzése ONB → ONB bázisátmenetek mátrixaiként. Spektráltétel, spektrálfelbontás, főtengelytétel. A spektráltétel és a szingulárisérték-felbontás (SVD) alkalmazása képtömörítésre.

• jegyzet: 6.72 – 6.82
• Kvadratikus alakok főtengely-transzformációja (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).
• Spektrálfelbontás és SVD alkalmazása képtömörítésre (SageMathCell-alapú interaktív weboldal).