Diszkrét matematika II gyakorlat

1. Hányféle sorrendben lehet leírni a DISZKRÉT szó betűit?
   Eredmény:

   $8! = 40320$

2. Hányféle sorrendben lehet leírni a MATEMATIKA szó betűit?
   Eredmény:

   $$\frac{10!}{2!\,3!\,2!} = 151200$$
3. Hányféleképpen lehet 3 szobát 4-féle tapétával kitapétázni?
   Eredmény:

   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat megkülönböztetjük, akkor $24$.
   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat nem különböztetjük meg, akkor $4$.
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat megkülönböztetjük, akkor $64$.
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat nem különböztetjük meg, akkor $20$  (3 karika és 3 pálcika).
4. Hányféleképpen lehet 10 szobát 30-féle tapétával kitapétázni? És 30 szobát 10-féle tapétával?
   Eredmény:

   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat megkülönböztetjük, akkor…
     • 10 szoba, 30 tapéta: $30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \ldots \cdot 21 = \frac{30!}{20!}$;
     • 30 szoba, 10 tapéta: $0$.
   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat nem különböztetjük meg, akkor…
     • 10 szoba, 30 tapéta: $\frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot \ldots \cdot 21}{10!} = \frac{30!}{20!\,10!} = \binom{30}{10} = \binom{30}{20}$;
     • 30 szoba, 10 tapéta: $0 = \binom{10}{30}$.
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat megkülönböztetjük, akkor…
     • 10 szoba, 30 tapéta: $30 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \ldots \cdot 30 = 30^{10}$;
     • 30 szoba, 10 tapéta: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \ldots \cdot 10 = 10^{30}$.
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat nem különböztetjük meg, akkor…
     • 10 szoba, 30 tapéta: $\frac{39!}{10!\,29!} = \binom{39}{10} = \binom{39}{29}$   (10 karika és 29 pálcika);
     • 30 szoba, 10 tapéta: $\frac{39!}{30!\,9!} = \binom{39}{10} = \binom{39}{29}$   (30 karika és 9 pálcika).
5. Hányféleképpen lehet $k$ szobát $n$-féle tapétával kitapétázni?
   Eredmény:

   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat megkülönböztetjük (ismétlés nélküli variáció), akkor $$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.$$
   • Ha egy tapétát csak egy szobához lehet felhasználni és a szobákat nem különböztetjük meg (ismétlés nélküli kombináció), akkor $$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$$
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat megkülönböztetjük (ismétléses variáció), akkor $$n \cdot n \cdot n \cdot \ldots \cdot n = n^{k}.$$
   • Ha egy tapétát több szobához is fel lehet használni és a szobákat nem különböztetjük meg (ismétléses kombináció), akkor $$\frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} = \binom{n+k-1}{k} = \binom{n+k-1}{n-1}$$ ($k$ karika és $n-1$ pálcika).
6. (1.3) Hányféleképpen helyezhetünk el 8 embert 3 szobában, ha a szobák 1, 2 és 5 személyesek?
   Eredmény:

   $$\frac{8!}{1!\,2!\,5!} = \binom{8}{1}\binom{7}{2}\binom{5}{5} = \binom{8}{2}\binom{6}{5}\binom{1}{1} = \ldots$$
7. (1.5) Egy étteremben 4 munkatárs ebédel. Az étlapon 20 különböző étel van felsorolva. Hányféleképpen rendelhetnek, ha mindenki pontosan egy ételt rendel?
   Eredmény:

   • vendégek szemszögéből, ha minden ételből sok van: $20^4$
   • szakács szemszögéből, ha minden ételből sok van: $\frac{23!}{4!\,19!}=\binom{23}{4}$  (4 karika, 19 pálcika)
   • vendégek szemszögéből, ha minden ételből csak egy adag van: $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17$
   • szakács szemszögéből, ha minden ételből csak egy adag van: $\binom{20}{4}$
8. (1.17) 20 láda áruból 15 láda első osztályú, a többi másodosztályú. Hányféleképpen választhatunk ki 5 ládát úgy, hogy legfeljebb 2 másodosztályú legyen közöttük?
   Eredmény:

   $$\binom{5}{2}\binom{15}{3} + \binom{5}{1}\binom{15}{4} + \binom{5}{0}\binom{15}{5}$$
9. (1.19a) Egy csomag francia kártya 52 lapból áll: 4-féle színből 13-13 lapot tartalmaz. Hányféleképpen húzhatunk ki 4 olyan lapot, amelyek közül pontosan 2 lap színe egyezik meg?
   Eredmény:

   $$12 \cdot \binom{13}{2}\binom{13}{1}\binom{13}{1}$$
10. (1.19b) Hányféleképpen húzhatunk ki egy csomag francia kártyából 4 olyan lapot, amelyek között pontosan 2 szín fordul elő?
    Eredmény:

    $$6 \cdot \binom{13}{2}\binom{13}{2} + 12 \cdot \binom{13}{3}\binom{13}{1}$$

1. (1.9) Egy üzletben 5-féle szaloncukrot lehet kapni: kókuszos, vajkaramellás, zselés, gumicukros és marcipános ízűt. Hányféleképpen lehet 10 szaloncukrot választani? (Minden fajtából van elég.)
   Eredmény:

   $$\frac{14!}{10!\,4!}=\binom{14}{10}$$

   (10 karika, 4 pálcika)

2. Hányféleképpen lehet 10 szaloncukrot szétosztani 5 gyerek között úgy, hogy mindenki legalább egyet kapjon? (A szaloncukrok egyformák, a gyerekek különbözők.)
   Eredmény:

   $$\frac{9!}{5!\,4!}=\binom{9}{4}$$

   (5 karika, 4 pálcika)

3. 5 különböző színű dobókockával egyszerre dobunk. Hányféleképpen lehet a dobások összege 10? (Két dobás különböző, ha van olyan kocka, amelyikkel a két dobás esetén nem ugyanazt a számot dobtuk.)
   Eredmény:

   $$\frac{9!}{5!\,4!}=\binom{9}{4}=126$$

   (5 karika, 4 pálcika)

4. (1.11) Egy turistacsoport egy város 20 nevezetességét szeretné meglátogatni 4 nap alatt. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha egy nap alatt akár az összes nevezetesség megtekinthető, és számít az, hogy egy adott napon milyen sorrendben tekintik meg a látnivalókat?
   Eredmény:

   $$\frac{23!}{3!}$$

   (20 látnivaló, 3 pálcika)

5. (1.13) Hányféleképpen helyezhetünk el 24 különböző könyvet egy 7-polcos szekrényben, ha bármelyik polcon elfér mind a 24 könyv?
   Eredmény:

   Ha számít az egyes polcokon belül a sorrend, akkor $\displaystyle{\frac{30!}{6!}}$ (24 könyv, 6 pálcika); ha csak az számít, hogy melyik könyv melyik polcra kerül, akkor $7^{24}$.

6. (1.21) Hányféleképpen ültetheti le Hófehérke a hét törpét egy padra úgy, hogy Tudor és Morgó ne üljön egymás mellett?
   Eredmény:

   $$7!-2!\cdot6! = 6!\cdot5 = 5!\cdot\binom{6}{2}\cdot2!$$
7. (1.24) Egy állatszelidítő 5 oroszlánt és 4 tigrist szeretne bevezetni egymás után a porondra úgy, hogy két tigris nem jöhet egymás után. Hányféleképpen teheti ezt meg? (Az állatszelidítő természetesen meg tudja különböztetni az állatait.)
   Eredmény:

   $$\binom{6}{4}\cdot5!\cdot4! = \frac{6!}{2!4!}\cdot5!\cdot4!$$
8. (1.26b) Hányféle olyan „szó” képezhető a KOMBINATORIKA szó betűiből, amelyben nem áll egymás mellett két magánhangzó?
   Eredmény:

   $$\binom{8}{6}\cdot\frac{7!}{2!}\cdot\frac{6!}{2!2!2!}$$
9. (1.26a) Hányféle olyan „szó” képezhető a KOMBINATORIKA szó betűiből, amelyben nem áll egymás mellett két mássalhangzó?
   Eredmény:

   $$\binom{7}{7}\cdot\frac{7!}{2!}\cdot\frac{6!}{2!2!2!}$$
10. (1.27) Hányféle sorrendben haladhat át a forgóajtón egy 8 házaspárból álló társaság, ha a házastársak közvetlenül egymás után mennek?
    Eredmény:

    $$8!\cdot2^8$$
11. (1.28) 5 házaspár foglal helyet egy kör alakú asztalnál. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha a házastársak egymás mellett akarnak ülni? (Két elhelyezkedést akkor és csak akkor tekintünk azonosnak, ha mindenkinek ugyanaz a bal illetve jobb oldali szomszédja.)
    Eredmény:

    $$4!\cdot2^5$$

1. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat a répához, ha csak az a és b betűket ismeri?
   
   Eredmény:

   $$\frac{8!}{3!5!}=\binom{8}{3}=\binom{8}{5}$$
2. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat az $x+y=5$ egyenesen elhelyezkedő répaágyáshoz, ha csak az a és b betűket ismeri?
   
   Eredmény:

   $$2^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}$$
3. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat a répához, ha $p$-féle magánhangzót és $q$-féle mássalhangzót ismer?
   
   Eredmény:

   $$\frac{8!}{3!5!}p^3q^5=\binom{8}{3}p^3q^5=\binom{8}{5}p^3q^5$$
4. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat az $x+y=5$ egyenesen elhelyezkedő répaágyáshoz, ha $p$-féle magánhangzót és $q$-féle mássalhangzót ismer?
   
   Eredmény:

   $$\begin{align} (p+q)^5 &= p^5 + 5p^4q + 10p^3q^2 + 10p^2q^3 + 5pq^4 + q^5 = \\ & \\ &= \binom{5}{0}p^5 + \binom{5}{1}p^4q + \binom{5}{2}p^3q^2 + \binom{5}{3}p^2q^3 + \binom{5}{4}pq^4 + \binom{5}{5}q^5 = \\ & \\ &= \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}p^kq^{5-k} = \sum_{i+j=5}\binom{5}{i}p^iq^j \end{align}$$
5. Mennyi $\displaystyle{\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\binom{n-3}{3}+\cdots}$ ?

   Szorgalmi HF; beadható február 27-én. A válszt indokolni kell!

   Egy kis segítség:

   
6. Mennyi $x^8$ együtthatója a $(3x^2+2)^6$ hatvány kifejtésében?
   Eredmény:

   $$(3x^2+2)^6 = \sum_{i+j=6}\binom{6}{i}(3x^2)^i2^j = \sum_{i+j=6}\binom{6}{i}3^i2^jx^{2i} \; \; \xrightarrow{i=4,j=2} \; \; \binom{6}{4}3^42^2x^8 = 4860x^8$$

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: Wolfram Alpha

7. (1.30) Mennyi a konstans tag a $(3x^2+\frac{2}{x})^6$ hatvány kifejtésében?
   Eredmény:

   $$(3x^2+2x^{-1})^6 = \sum_{i+j=6}\binom{6}{i}(3x^2)^i(2x^{-1})^j = \sum_{i+j=6}\binom{6}{i}3^i2^jx^{2i-j} \; \; \xrightarrow{i=2,j=4} \; \; \binom{6}{2}3^22^4x^0 = 2160$$

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: Wolfram Alpha

8. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat 3D-ben a (2,4,7) koordinátájú répához, ha a három irányba rendre $p, q$ és $r$-féle betűvel lehet küldeni?
   

   Forrás: Digital Art: animated Bunny by ivanivanov88

   Eredmény:

   $$\frac{13!}{2!4!7!}p^2q^4r^7=\binom{13}{2,4,7}p^2q^4r^7$$
9. Hányféle szóval lehet elvezetni a nyulat 3D-ben az $x+y+z=13$ síkon elterülő répaültetvényhez, ha a három irányba rendre $p, q$ és $r$-féle betűvel lehet küldeni?
   
   Eredmény:

   $$(p+q+r)^{13} = \sum_{i+j+k=13}\frac{13!}{i!j!k!}p^iq^jr^k = \sum_{i+j+k=13}\binom{13}{i,j,k}p^iq^jr^k$$
10. (1.31) Mennyi $x^{18}$ együtthatója az $(1+x^3-x^4)^{12}$ hatvány kifejtésében?
    Eredmény:

    $$\begin{gather} (1+x^3-x^4)^{12} = \displaystyle\sum_{i+j+k=12}\binom{12}{i,j,k}1^i(x^3)^j(-x^4)^k = \sum_{i+j+k=12}\binom{12}{i,j,k}(-1)^kx^{3j+4k} \\ \\ i+j+k=12,\ 3j+4k=18 \quad\iff\quad i=6,j=6,k=0\;\text{ vagy }\;i=7,j=2,k=3\\ \\ \binom{12}{6,6,0}(-1)^0x^{18} + \binom{12}{7,2,3}(-1)^3x^{18} = \biggl( \frac{12!}{6!6!0!}-\frac{12!}{7!2!3!}\biggr) x^{18} = -6996x^{18} \end{gather}$$

    Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: Wolfram Alpha

11. Az EHÖK felmérése szerint a 610 első éves informatikus közül 26-an szeretik a kalkulust, 69-en a diszkrét matekot és 50-en a prog I-et. A kalkulust és a dimatot egyszerre 13-an szeretik, a dimatot és a progot 30-an, illetve a kalkulust és progot 21-en. Továbbá van 11 elvetemült hallgató, aki mindhárom tárgyat szereti. Hány vannak, akik egyik tárgyat sem szeretik?

    Forrás: Bogya Norbert honlapja

    Eredmény:

    $$\begin{align} |\overline{K \cup D \cup P}| &= \; |U|-|K|-|D|-|P|+|K \cap D|+|D \cap P|+|K \cap P|-|K \cap D \cap P| =\\ & \\ &= \; 610-26-69-50+13+30+21-11 = 518 \end{align}$$
12. Hányféleképpen jöhet ki a félkarú rablón dinnye, szilva és narancs?
    
    Eredmény:

    $$3^5 - 2^5 - 2^5 -2^5 + 1 + 1 + 1 - 0 = 150$$
13. Mennyi a valószínűsége, hogy a félkarú rablón pontosan háromféle szimbólum jön ki?
    Eredmény:

    $$\frac{\binom{9}{3}(3^5 - 2^5 - 2^5 -2^5 + 1 + 1 + 1 - 0)}{9^5} = \frac{12600}{59049}\approx 0,21$$
14. Hogyan ugrálhat el a nyúl az origóból az 1-nél lévő répához, ha csak 21-et és 8-at tud ugrani (jobbra és balra is)?
    Eredmény:

    A $21x+8y=1$ diofantoszi egyenlet egy megoldását megkapjuk euklideszi algoritmussal: $x=-3,y=8.$ Itt lehet (sőt, kell!) gyakorlni. Jövő órán röpzh ebből!

1. Határozzuk meg a $15x+9y=6$ diofantoszi egyenlet összes megoldását.
   Eredmény:

   $$x_t=-2+3t,\ y_t=4-5t\quad (t\in\mathbb{Z})$$

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

2. Hogyan juthat el a nyúl a répához a lehető legkevesebb ugrással, ha csak 21-et és 8-at tud ugrani (jobbra és balra is)?
   Eredmény:

   A $21x+8y=1$ diofantoszi egyenlet általános megoldása $x_t=-3+8t,\ y_t=8-21t\quad (t\in\mathbb{Z})$.

   Az ugrások száma $|x_t|+|y_t|$, ami $t=0$ esetén a legkisebb: $x_0=-3,\ y_0=8$ ($11$ ugrás).

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

   A kapott megoldások szemléltethetőek Ford-körök segítségével.

3. Hogyan juthat el a nyuszifiú a barátnőjéhez, ha csak 26-ot és 38-at tud ugrani (csak jobbra!)?
   Eredmény:

   A $26x+38y=1000$ diofantoszi egyenlet általános megoldása $x_t=1500+19t,\ y_t=-1000-13t\quad (t\in\mathbb{Z})$.

   A nemnegatív megoldások: $x=18,y=14$ ($t=-78$ esetén)   és   $x=37,y=1$ ($t=-77$ esetén).

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

4. Hogyan lehet kimérni 4 gallon vizet egy 3 és egy 5 literes edénnyel a lehető leggyorsabban?
   Eredmény:

   A $3x+5y=4$ diofantoszi egyenlet általános megoldása $x_t=8+5t,\ y_t=-4-3t\quad (t\in\mathbb{Z})$.

   A leggyorsabb megoldás: $x=-2,y=2$ ($t=-2$ esetén).

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

5. Egy kampányrendezvényen 117 zsák krumplit osztottak ki a résztvevők között. Minden zsákban ugyanannyi szem krumpli volt, minden résztvevő 63 szem krumplit kapott, és így a végén 36 szem krumpli megmaradt. Egy-egy zsák krumpliban legalább 50 darab volt, és 100-nál kevesebben vettek részt a rendezvényen. Hány darab krumpli volt egy zsákban, és hányan vettek részt a rendezvényen?
   Eredmény:

   A $117x-63y=36$ diofantoszi egyenlet általános megoldása $x_t=-4+7t,\ y_t=-8+13t\quad (t\in\mathbb{Z})$.

   Az $x\geq 50$ és $y < 100$ feltételek egyszerre csak $t=8$ esetén teljesülnek, tehát az egyetlen megoldás: $x=52,y=96$.

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

1. Hány eleme van az alábbi $H$ halmaznak? $$H=\bigl\{ \, x\in\mathbb{Z} : (\exists y \in \mathbb{Z}) (18x-10y=8), \; 30 \leq x \leq 50 \, \bigr\} $$
   Első reakció:
   Eredmény:

   A $18x-10y=8$ diofantoszi egyenlet általános megoldása $x_t=1+5t,\ y_t=1+9t\quad (t\in\mathbb{Z})$.

   A $30 \leq x\leq 50$ egyenlőtlenségek csak $t=6, 7, 8, 9$ esetén teljesülnek, tehát a halmaz négyelemű: $H=\{ 31, 36, 41, 46\}$.

   Ellenőrzési és gyakorlási lehetőség: diofantoszi egyenletek ábrázolása.

2. (2.6) Valaki a következőket mondta: „A barátnőm 22. születésnapjára 22 szál virágból álló csokrot vettem 2000 forintért. A csokor fréziából, nárciszból és rózsából állt, amelyekből egy szál 50 forintba, 70 forintba, illetve 130 forintba került.” Hány szál virágot tartalmazott az egyes fajtákból a csokor, ha azt is tudjuk, hogy mindegyikből legalább két szál volt, és semelyik kettőből sem volt ugyanannyi?
   Eredmény:

   Az $x+y+z=22, \; 50x+70y+130z=2000$ diofantoszi egyenletrendszerből kiküszöböljük (például) a $z$ ismeretlent: $8x+6y=86$. Az általános megoldás: $x_t=10+3t,\ y_t=1-4t,\ z_t=11+t \quad (t\in\mathbb{Z})$.

   Négy nemnegatív megoldás van ($t=-3,-2,-1,0$), de a feladat feltételei csak $t=-1$ esetén teljesülnek: $x=7,\ y=5,\ z=10$.

3. Mit ad $2^{102}+3^{201}$ maradékul 7-tel osztva?
   Eredmény:

   $$2^{102}+3^{201} = 4\cdot2 ^{100}+3\cdot9^{100} \equiv 4\cdot2 ^{100}+3\cdot2^{100} = 7\cdot2^{100} \equiv 0 \pmod{7}$$
4. Oldjuk meg a $18x\equiv 8\pmod{10}$ lineáris kongruenciát.
   Eredmény:

   $$x \equiv 1 \pmod{5} \iff x \equiv 1,6 \pmod{10}$$

   Gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala.

5. (2.9e) Oldjuk meg a $9x\equiv 15\pmod{12}$ lineáris kongruenciát.
   Eredmény:

   $$x \equiv 3 \pmod{4} \iff x \equiv 3,7,11 \pmod{12}$$

   Gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala.

6. Oldjuk meg a $24x\equiv 84\pmod{45}$ lineáris kongruenciát.
   Eredmény:

   $$x \equiv 11 \pmod{15} \iff x \equiv 11,26,41 \pmod{45}$$

   Gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala.

7. (2.9c) Oldjuk meg a $88x\equiv 42\pmod{55}$ lineáris kongruenciát.
   Eredmény:

   Nincs megoldása, mert $\operatorname*{lnko}(88,55)\not\mid42$.

   Gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala.

8. (2.9f) Oldjuk meg a $29x\equiv 17\pmod{73}$ lineáris kongruenciát.
   Eredmény:

   $$x \equiv 61 \pmod{73}$$

   Gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala.

9. HÁZI FELADAT március 19-re! Gondoltam egy kétjegyű számot. Megszoroztam 26-tal, az eredményt elosztottam 94-gyel, és így 20-at kaptam maradékul. Melyik számra gondoltam?
   Eredmény:

   A $26x\equiv 20\pmod{94}$ lineáris kongruencia megoldása $x \equiv 8 \pmod{47}$, azaz $x = 8+47t\ (t\in\mathbb{Z})$.

   A $10 \leq x\leq 99$ egyenlőtlenségek csak $t=1$ esetén teljesülnek, tehát az egyetlen megoldás: $x=55$.

• interaktív videó kongruenciarendszerekről (Lehet, hogy elnémítva indul, jobboldalt alul lehet bekapcsolni a hangot. Mellette a teljes képrenyőre váltó gomb, az utolsó gombbal pedig be lehet zárni a bal oldali tartalomjegyzéket.)
• a videóban használt prezentáció (pdf)
• a videóban használt nyulas játék
• gyakorlási lehetőség: Hartmann Miklós matematika gyakorlóoldala
• gyakorlási lehetőség: számelmélet feladatsor (2.12–14. feladatok)

Röpzh kongruenciarendszerekből a CooSpace-en csütörtöktől vasárnapig.

• az Euler-féle $\varphi$ függvény
• az Euler–Fermat-tétel
• gyakorlási lehetőség: számelmélet feladatsor (2.15,16,18,19. feladatok)
• gráfelméleti alapfogalmak
• gyakorlási lehetőség: gráfelmélet feladatsor (3.2–7. feladatok)

Röpzh az Euler–Fermat-tételből a CooSpace-en csütörtöktől vasárnapig.

• Hamilton-út és Euler-vonal + játék: Keress Hamilton-utat! + játék: Keress Euler-vonalat!
• páros gráfok + játék: Páros-e a gráf?
• síkgráfok + játék: Szüntesd meg a metszéspontokat!
• fák és erdők

• párosítás, lefogó ponthalmaz, alternáló út, javító út (YouTube)
• a magyar módszer címkézési eljárása Kunos Ádám előadásában (YouTube)
• a magyar módszer ismertetése (YouTube)
• még két példa a magyar módszerre (YouTube)
• a videókban használt játék: Keress minél nagyobb párosítást!
• a videókban használt rövid elméleti összefoglaló a magyar módszerről (pdf)
• párosítások az előadás anyagában (2849–2963. old.)

• műveletek, műveleti tulajdonságok (YouTube)
• a videóhoz tartozó interaktív feladatsor
• a videóban használt prezentáció (pdf)
• a 16. feladat Kunos Ádám által készített megoldása (pdf)
• műveletek, műveleti tulajdonságok az előadás anyagában (3014–3282. old.)

Röpzh a magyar módszerből a CooSpace-en csütörtöktől vasárnapig.

• algebrai struktúrák (YouTube)
• a videóhoz tartozó interaktív feladatsor
• a videóban használt prezentáció (pdf)
• Wordwall-játékok: grupoidok (kvízjáték), csoportok (vakondcsapkodós játék)

Röpzh a két Wordwall-játékból a CooSpace-en május 13-áig.

• részalgebra, generálás (YouTube)
• a videóhoz tartozó interaktív feladatsor
• a videóban használt prezentáció (pdf)
• izomorfia (YouTube)
• a videóban használt művelettáblázat-színező program
• a videóban használt prezentáció (pdf)
• Wordwall-játékok: grupoidok (kvízjáték), csoportok (vakondcsapkodós játék)

Röpzh a két Wordwall-játékból a CooSpace-en május 13-áig. (Figyelem: nem az itt található linkekről kell indítani a játékot, hanem a CooSpace-ben a 8. és 9. röpzh-nál megadott linkekről!)