Számelméleti
feladatok a középiskolában MMN016E-1
(ez az oldal
folyamatosan bővül)
Az országos
versenyek, nemzetközi diákolimpiák, valamint a KÖMAL feladatai alapján a
következő témák feldolgozása:
1. Oszthatóság. Prímszámok. Maradékos osztás. Legnagyobb közös osztó, legkisebb
közös többszörös. Kongruenciák. Kínai maradéktétel. A Fermat-tétel. Egész
számok különböző sorozatai. Diofantoszi egyenletek.
Módszerek a másodfokú diofantoszi egyenletek megoldására.
A végtelen leszállás módszere.
2. A következő (középiskolában is tárgyalható) elméleti kérdések ismertetése:
A Fermat-tétel és a titkosírás. Prímtesztek és a faktorizáció
(vázlatos ismertetés). Carmichael-számok,
Fibonacci-számok, a Lucas-számok és általánosításuk, a Lucas-számpárok.
Prímeket adó polinomok. Barátságos számpárok és barátságos láncok. Néhány diofantoszi probléma. A racionális számok g-adikus tört alakja, periodicitás, periódushossz.
Oszthatósági tesztek tetszőleges prímszámokra.
3. A tanulók számelméleti érdeklődésének felkeltésére alkalmas nevezetes
problémák, sejtések:
a) Fermat-sejtés és megoldásának alapjai. Goldbach-sejtés. Waring-probléma.
Páratlan tökéletes szám létezésének kérdése. Ikerprímprobléma.
b) Számelméleti rekordok: Mersenne-prímek.
Fermat-számok. Barátságos számpárok.