Számelméleti feladatok a középiskolában MMN016E-1

(ez az oldal folyamatosan bővül)

TÉTELSOR

HÁZI FELADATOK

Az országos versenyek, nemzetközi diákolimpiák, valamint a KÖMAL feladatai alapján a következő témák feldolgozása:
1. Oszthatóság. Prímszámok. Maradékos osztás. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Kongruenciák. Kínai maradéktétel. A Fermat-tétel. Egész számok különböző sorozatai. Diofantoszi egyenletek. Módszerek a másodfokú diofantoszi egyenletek megoldására. A végtelen leszállás módszere.
2. A következő (középiskolában is tárgyalható) elméleti kérdések ismertetése:
A Fermat-tétel és a titkosírás. Prímtesztek és a faktorizáció (vázlatos ismertetés). Carmichael-számok, Fibonacci-számok, a Lucas-számok és általánosításuk, a Lucas-számpárok. Prímeket adó polinomok. Barátságos számpárok és barátságos láncok. Néhány diofantoszi probléma. A racionális számok g-adikus tört alakja, periodicitás, periódushossz. Oszthatósági tesztek tetszőleges prímszámokra.
3. A tanulók számelméleti érdeklődésének felkeltésére alkalmas nevezetes problémák, sejtések:
a) Fermat-sejtés és megoldásának alapjai. Goldbach-sejtés. Waring-probléma. Páratlan tökéletes szám létezésének kérdése. Ikerprímprobléma.
b) Számelméleti rekordok: Mersenne-prímek. Fermat-számok. Barátságos számpárok.