Bevezetés a számelméletbe

előadás

NAPPALI TAGOZAT

2010 ősz

Ez a honlap folyamatosan fejlődik.

Figyelem! A korábbi “Klasszikus algebra és számelmélet ” tárgy szét van bontva. Ezután a hallgatok csak külön vehetik fel a részeket.

A vizsgázás feltétele: legalább 24 pontot kell szerezni a gyakorlaton.

A pontszerzés módja:

1. ZH : október 21, itt maximum 20 pont érhető el.

2. ZH: december 9, itt is maximum 20 pont érhető el.

További 20 pont szerezhető házifeladatokkal illetve röpdolgozatokkal, a gyakorlatvezető által ismertetett módon.

Az egyik ZH-t lehet a félév végén pótolni/javítani, de mindenképen a később megírt dolgozat pontszámát vesszük figyelembe, akkor is, ha az rosszabb.

Vizsga: beugró teszt és szóbeli vizsga. Részletek később itt részletesen is olvashatók.

Egy A és egy B tételt kell húzni.

Tételsorok

Javasolt irodalom:

Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.

Megyesi László: Bevezetés a számelméletbe, Polygon, 1997.

I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe, Műszaki Könyvkiadó, 1978.
Sárközi András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény, ELTE jegyzet, Tankönyvkiadó, 1977.

Eredményes munkát kívánok Mindenkinek!

K. Horváth Eszter

Az előadások témái:

Szeptember 7.: Az előadás vázlata a következő linken található:

http://www.math.u-szeged.hu/~szendrei/szamelm.html

Szeptember 14.: Leképezés, leképezések szorzása. Injektív, szürjektív, bijektív leképezések, tulajdonságok Permutáció. Inverz leképezés.

Egy leképezésnek akkor és csak akkor van inverze, ha bijektív. Reláció, ekvivalenciareláció.

Polinomiális tétel, binomiális tétel.

Szeptember 21.: Ekvivalencia-osztály, faktorhalmaz. Osztályozás. Ekvivalenciarelációk és osztályozások kapcsolata.

Részbenrendezés, Hasse-diagram, minimális elem, legkisebb elem, maximális elem, legnagyobb elem.

Oszthatóság, elemi tulajdonságai. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. A maradékos osztás tétele.

Euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó meghatározására (bizonyítása a jövő héten).

Szeptember 28.: Euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó meghatározására.

A legnagyobb közös osztó előállítása a két szám lineáris kombinációjaként.

Lineáris diofantoszi egyenlet. Prímszám, felbonthatatlan szám.

A prímszámok és a felbonthatatlan számok ugyanazok (bizonyítása a jövő héten).

Október 5.: A prímszámok és a felbonthatatlan számok ugyanazok. A számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van.

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös prímfelbontással, szorzatuk a két pozitív egész szám szorzatával egyenlő.

Kongruenciareláció, maradékosztályok.

Azonos modulusú kongruenciák összeadása, kivonása, összeszorzása.

Október 12.: Alapműveletek a maradékosztályok halmazán. Kongruencia elosztása (a modulust is osztani kell).

A legkisebb közös többszörös, mint modulus.

Maradékosztály és modulus legnagyobb közös osztója, redukált maradékosztályok.

Lineáris kongruencia.

Október 19.: Egész szám multiplikatív inverze, maradékosztály multiplikatív inverze,

negatív kitevős hatványozás, a hatványozás azonosságai.

Lineáris kongruenciarendszer. Megoldható lineáris kongruenciarendszer megoldásai egyetlen

maradékosztályt alkotnak a modulusok legkisebb többszörösére nézve. Két kongruenciából álló rendszer megoldhatóságának szükséges és elegendő feltétele. Szükséges és elegendő feltétel „k” kongruenciából álló rendszer megoldhatóságára (bizonyítás nélkül).

Kínai maradéktétel. Wilson tétele és annak megfordítása.

November 2.: Teljes maradékrendszer, redukált maradékrendszer.

Az Euler féle függvény. Euler-Fermat tétel, kis Fermat tétel, következmények.

Számelméleti függvények. A és a kiszámítási képlete.

November 9.: Gyengén multiplikatív számelméleti függvényt egyértelműen meghatározzák a prímhatvány helyen felvett értékei.

A , , , id, 1, függvények gyengén multiplikatívak.

Tökéletes számok. Mersenne prímek.

Számelméleti függvények konvolúciója. A konvolúció kommutatív, asszociatív.

November 16.: Gyengén multiplikatív számelméleti függvények konvolúciója is gyengén multiplikatív.

Összegzési függvény. Gyengén multiplikatív számelméleti föggvény összegzési függvnye is gyengén multiplikatív.

Néhány tanult számelméleti függvény összegzési függvényei.

Möbius-függvény, összegzési függvénye. A Möbius-féle megfordítási képlet.

Jó kitevő, rend, primitív gyök, néhány alaptulajdonság.

November 23.: A d-edrendű egészek száma modulo p.

Bizonyítás nélkül: a következő modulusokhoz létezik primitív gyök (és csak ezekhez):

2,4, páratlan prímhatványok, páratlan prímhatványok kétszeresei.

Index, tulajdonságai, n-edik hatványmaradék modulo m.

Négyzetes maradék-nemmaradék, Legendre szimbólum definíciója.

November 29.: Legendre szimbólum tulajdonságai.

Gauss lemma, négyzetes reciprocitási tétel.

December 7. Pitagoraszi számhármasok, primitív pitagoraszi számhármasok. Nagy Fermat.tétel (biz. nélkül).

Bevezetés a „Négyzetszámok összegei” témához.

December 14. Négyzetszámok összegei. A prímszámok eloszlása.

Analitikus eredmények a prímszámok eloszlásáról, a prímsámtétel.

Megoldatlan problémák.

Tematika

Ekvivalenciák, részbenrendezések. Oszthatóság, maradékos osztás, euklideszi algoritmus az egészek körében. Prímszámok, a számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. Lineáris diofantoszi egyenletek. A modulo n kongruencia és tulajdonságai, maradékosztályok, teljes és redukált maradékrendszerek. Lineáris kongruenciák, a kínai maradéktétel. Euler-, Fermat- és Wilson-tétel. Primitív gyökök és indexek. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. Számelméleti függvények, gyengén multiplikatív számelméleti függvények, nevezetes példák, összegzési és megfordítási függvény. A prímszámok eloszlása, a prímszámok reciprokaiból álló sor divergenciája. Nevezetes tételek és megoldatlan problémák. Pitagoraszi számhármasok, a nagy Fermat-tétel. Természetes számok fölbontása négyzetszámok összegére.