Előadásvázlat

• A természetes számok halmaza: N={1,2,3,...}; a nemnegatív egész számok halmaza: N₀={0,1,2,...}; és az egész számok halmaza: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
• Összeadás és szorzás Z-n, alapvető műveleti tulajdonságok. Egész szám ellentettje; minden n egész számra a következő feltételek közül pontosan az egyik teljesül: n természetes szám, n=0, -n természetes szám.
• A természetes rendezés Z-n, és alapvető tulajdonságai. Bármely m,n egészekre m akkor és csak akkor kisebb n-nél, ha n=m+k valamely k természetes számra.
• A természetes számok halmazának három ekvivalens tulajdonsága a következő:
  • Teljes indukció elve (első változat): N bármely S részhalmazára, ha
    • 1 eleme S-nek, és
    • valahányszor k eleme S-nek, mindannyiszor k+1 is eleme S-nek,
    akkor S=N.
  • Teljes indukció elve (második változat): N bármely T részhalmazára, ha
    • 1 eleme T-nek, és
    • valahányszor 1,...,k mindegyike eleme T-nek, mindannyiszor k+1 is eleme T-nek,
    akkor T=N.
  • Jólrendezés elve: N bármely nemüres H részhalmazának van legkisebb eleme.
  A három tulajdonság ekvivalenciájának bizonyítása.