Tegyük fel, hogy az S halmaz eltoltjaival k-szorosan lefedtük a síkot,
vagyis az eltoltakból álló H halmazrendszer egy k-szoros fedés. Igaz, hogy
ha k elég nagy, akkor a fedés felbontható két (vagy több) fedésre? Ez az
egyszerű kérdés meglepően nehéz és mély problémákhoz vezet, amelyek nagy
része máig megoldatlan. A kérdésnek, elméleti jelentősége és érdekessége
mellett fontos gyakorlati alkalmazása is van, a szenzor-rendszerek ütemezés
énél. Egy síkbeli S halmazt fedés-felbonthatónak hívunk, ha létezik olyan
k = k(S) szám, hogy a sík tetszőleges k-szoros fedése S eltoltjaival felbomlik
két fedésre.
1980-ban Pach János vetette fel, hogy határozzuk meg a fedés-felbontható
halmazokat. Sejtése szerint minden konvex halmaz fedés-felbontható, de ezt
csak speciális esetekben sikerült igazolni, például konvex, nyílt sokszögekre.
Az összes eddigi általános pozitív eredmény kizárólag nyílt halmazokra érvényes.
Tóth Gézával bebizonyítottuk, hogy a zárt, konvex, középpontosan szimmetrikus
sokszögek is fedés-felbonthatóak. A fedés-felbonthatóság tulajdonságnak sok egyéb változata van, megvizsgáljuk a különöböző változatok
közti összefüggéseket, es bebizonyítjuk, hogy eredményünk minden változatban
igaz. Azt is belátjuk, hogy a végtelenszeres fedések két, szintén végtelenszeres
fedésre is felbonthatóak.