Válogatott fejezetek az analízisből ea. (OT 2022)

Tanszék: Analízis Tanszék

Tematika:
Nyílt, zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy-sorozatok. Többváltozós függvények folytonossága és határértéke. Kompakt halmazok az n-dimenziós euklidészi térben. Kompakt halmazokon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai. Kitekintés: topológia, dimenzió, fraktálok. Parciális és iránymenti deriváltak, gradiens, geometriai jelentések. Differenciálható többváltozós függvények. Magasabbrendű deriváltak, Young tétele. Kétszer differenciálható függvények, első és második differenciál (szemléletes jelentése). Helyi szélsőérték feltételei, szélsőérték-feladatok, feltételes szélsőérték. Valamint, az alábbi témákból néhány, a csoport igényeit is figyelembe véve. • Differenciálegyenletek, geometriai jelentés, kezdetiérték-probléma, példák. Megoldások létezése, egyértelműsége. Lineáris differenciálegyenletek és -egyenletrendszerek. • A Jordan-mérték intuitív fogalma. A többváltozós integrál felépítése az egyváltozós eset analogonjaként. Többszörös integrálok kiszámítása, integrálás normáltartományon. Térfogat-számítás. Integráltranszformációk intuitív tárgyalása. • A vonalintegrál fogalma és kiszámítása. Potenciálfüggvény, Newton-Leibniz-formula. Fizikai alkalmazások, konzervatív terek. A potenciálfüggvény létezésének feltételei. • Függvénysorozatok, -sorok, egyenletes konvergencia, kapcsolata folytonossággal. Függvénysorok tagonkénti differenciálása és integrálása. Hatványsorok összegfüggvényei komplex változóban is.

Előfeltétel: