A komplex és valós függvénytan elemei alkalmazásokkal ea. (BSc 2006-2014)

Tanszék: Analízis Tanszék

Tematika:
Komplex számok, távolság, nyílt, zárt, összefüggő halmazok. Komplex sorozatok, határérték és folytonosság. Lineáris és törtlineáris leképezések geometriája. Hatványsorok; elemi függvények kiterjesztése komplex változóra. Komplex változós függvény differenciálhatósága. Cauchy-féle integráltétel és integrálformulák. Holomorf függvény hatványsorba fejtése. Liouville-tétel, az algebra alaptétele. Laurent-sor. Reziduum-számítás és alkalmazása integrálok kiszámítására. Monoton és korlátos változású függvények. Mérték az egyenesen és a síkon. Mérték kiterjesztése: szigma-additivitás, külső mérték, Lebesgue-mérték. Mértékek szorzata. Mérhető függvények. Lebesgue-integrál és kapcsolata a Riemann-integrállal. Konvergenciatételek. Abszolút folytonos függvények. Alkalmazások a valószínűségszámításban: véletlen változó eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye; szorzatmérték és függetlenség. Függvénysorok. Fourier-sor. Alkalmazások a parciális differenciálegyenletek elméletében: a hővezetés differenciálegyenlete, Fourier módszere a változók szétválasztására.

Előfeltétel: