Kutatási irányok
Az Analízis és Sztochasztika Kutatócsoport 2012-2016. közötti időszakra vonatkozó főbb
kutatási területei:
- klasszikus analízis (potenciálelmélet, harmonikus mértékek viselkedése, véletlen bolyon-gások),
- ortogonális polinomok (Christoffel függvények aszimptotikája, zérushelyek eloszlása, Bergman polinomok),
- approximációelmélet (polinom-egyenlőtlenségek, polinom-approximáció magasabb dimenzióban),
- differenciálegyenletek és dinamikus rendszerek (funkcionál-differenciálegyenletek dinamikája,
időbeli késleltetést tartalmazó rendszerek, állapotfüggő differenciál-egyenletek),
- ezek járványtani alkalmazásai (járványtani modellek késleltetés mellett, utazás/transzport
modellek és dinamikájuk, az ön-izolációs magatartás modellezése),
- valószínűségelmélet (elágazó folyamatok, Lévy-folyamatok, sztochasztikus geometria).
A kutatócsoportban elsősorban alapkutatások folynak az alkalmazások szem előtt tartásával.
Például a területmérték szerinti ún. Bergman ortogonális polinomok és az ezekhez tartozó Christoffel-függvények
(melyek könnyen kiszámolhatók MRI-szerű szkennelt adatokból) alkal-mazhatók tartomány-rekonstrukciós
(pl. daganatfelismerési) célokra; funkcionál-differenciálegyenleteket késleltetett visszacsatolás esetén
többek között populációdinamikában, járványtanban, fiziológiában, neurális hálózatok elméletében, lézeroptikában,
közgazdaságtanban ill. nagy teljesítményű gépek mechanikájában alkalmazzák; az elágazó folyamatok nélkülözhetetlenek
egyebek mellett a genetikában, molekuláris biológiában, fizikában és a számítástechnikában.
Research areas
The main research directions of the Analysis and Stochastic Research Group in the period 2012-2016 are:
- classical analysis (potential theory, properties of harmonic measures, random walks),
- orthogonal polynomials (asymptotics of Christoffel functions, distribution of zeros, Bergman polynomials),
- approximation theory (polynomial inequalities, polynomial approximation in higher dimension),
- differential equations and dynamical systems (functional differential equations, dynamical systems with
time-delays, state-dependent delay differential equations),
- epidemiological applications of these (infectious disease modeling with time-delay,
transport models and its dynamics, self-protective flight behavior),
- probability theory (branching processes, Lévy processes, stochastic geometry).
The research group investigates basic research with a view in applications.
For example, the Bergman orthogonal polynomials with respect to area measure and the corresponding
Christoffel-functions (which can be easily computed from scanned MRI-type data) can be applied
in domain reconstruction (e.g. tumour recognizing); functional differential equations with delayed
feedback are used in population dynamics, epidemiology, physiology, neural network theory, laser
optics, economy, and mechanics of high-powered machines; while branching processes play an important
role in models of genetics, molecular biology, physics and computer science.