Nevezetes határértékek

1. Tétel. Ha $\vert q\vert<1$, akkor $q^n\rightarrow0$.

Biz. Azt kell megmutanunk, hogy $\forall \epsilon >0$ számhoz $\exists$ olyan $\nu$ , hogy ha

$n>\nu \Rightarrow \vert a_n-A\vert<\epsilon$ , vagyis, hogy $\vert q^n-0\vert<\epsilon.$

Mivel $\vert q\vert<1 \Rightarrow (1/\vert q\vert)>1$ , vagyis $\vert q^n\vert=\vert q\vert^n<\epsilon  \Leftrightarrow (1/\vert q\vert)^n>1/\epsilon$,

így a Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva adódik, hogy

$({1\over \vert q\vert})^n=(1+({1 \over\vert q\vert}-1))^n \geq 1+n({1 \over\vert q\vert}-1) \geq n({1 \over\vert q\vert}-1)$, és így

$n({1 \over\vert q\vert}-1)\geq{1\over\epsilon} \Leftrightarrow n\geq{1\over({1\over\vert q\vert}-1)\epsilon}$, vagyis $\nu=\nu(\epsilon)={1\over({1\over\vert q\vert}-1)\epsilon}. \hfill \spadesuit$

2. Tétel. Ha $q>0$, akkor $\root n \of q\rightarrow1$.

Biz. ($q>1$ eset) Azt kell megmutanunk, hogy $\forall \epsilon >0$ számhoz $\exists$ olyan $\nu$, hogy

ha $n>\nu \Rightarrow \vert a_n-A\vert<\epsilon$, vagyis, hogy $\vert\root n \of q -1\vert= \root n \of q -1<\epsilon$.

De $\root n \of q-1<\epsilon \Leftrightarrow q<(1+\epsilon)^n$,

így ismét a Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva adódik, hogy

$(1+\epsilon)^n \geq 1+n\epsilon \geq n\epsilon$, és így

$n\epsilon \geq q \Leftrightarrow n\geq{q\over \epsilon}$ , vagyis $\nu=\nu(\epsilon)={q\over\epsilon}. \hfill \spadesuit$

3. Tétel. $\root n \of n\rightarrow1$.

Biz. Azt kell megmutanunk, hogy $\forall \epsilon >0$ számhoz $\exists$ olyan $\nu$, hogy ha

$n>\nu \Rightarrow \vert a_n-A\vert<\epsilon$, vagyis, hogy $\vert\root n \of n -1\vert= \root n \of n -1<\epsilon$.

De $\root n \of n-1<\epsilon \Leftrightarrow n<(1+\epsilon)^n$,

így ismét a Bernoulli-egyenlőtlenséget felhasználva adódik, hogy

$(1+\epsilon)^n=(1+\epsilon)^{(2(n/2))}=((1+\epsilon)^{(n/2)})^2\geq ((1+\epsilon)^{[n/2]})^2\geq(1+[{n \over2}]\epsilon)^2\geq$

$(1+{n\over 3}\epsilon)^2\geq({n \over3}\epsilon)^2$, és így

$({n \over3}\epsilon)^2\geq n \Leftrightarrow n\geq{9\over\epsilon^2}$ ,vagyis $\nu=\nu(\epsilon)={9\over\epsilon^2}. \hfill \spadesuit$

4. Tétel. ${a^n\over n!}\rightarrow0$.

Biz. Azt kell megmutanunk, hogy $\forall \epsilon >0$ számhoz $\exists$ olyan $\nu$, hogy ha

$n>\nu \Rightarrow \vert a_n-A\vert<\epsilon$, vagyis, hogy $\left\vert{a^n \over n!}-0\right\vert= {\vert a\vert^n \over{n!}}<\epsilon$

De ${\vert a\vert^n \over n!}= {\vert a\vert\vert a\vert\vert a\vert\dots \vert a\... ...ert a\vert^{\left([\vert a\vert]+1 \right)} \over [\vert a\vert]!n}={K \over n}$, és így

${K \over n}\leq\epsilon \Leftrightarrow n\geq{K\over\epsilon}$ ,vagyis $\nu=\nu(\epsilon)={K\over\epsilon}. \hfill \spadesuit$

Megjegyzés. Gondoljuk végig, hogy lehet-e a Bernoulli-egyenlőtlenség helyett más eszközöket használni (pl. binomiális tétel).