11. Példa

Mutassuk meg, hogy az $f(x,y)=\arctan\left({x\over y}\right)$ kielégíti az $f''_{xx}+f''_{yy}$ egyenletet.

$f'_x={1\over{1+\left({x\over y}\right)^2}}\cdot{1\over y}={y\over{x^2+y^2}}\Rightarrow f''_{xx}={-2xy\over {(x^2+y^2)^2}}$

$f'_y={1\over{1+\left({x\over y}\right)^2}}\cdot{-x\over y^2}={-x\over{x^2+y^2}}\Rightarrow f''_{yy}={2xy\over {(x^2+y^2)^2}}$