1. Feladat
(GY2194[EV])

Határozzuk meg a következõ felületekkel határolt zárt tértartomány (hengerszerû test) térfogatát a kettõsintegrál felhasználásával :

A felületek egyenletei :

F1. [koordinátasík]
F2. [koordinátasík]
F3. [koordinátasík]
F4. [sík]
F5. [elliptikus paraboloid]

A felületek egyenkénti és együttes ábrázolása:

A fenti ábrázolásban a paraméterválasztások miatt a felületek még nem teljesen illeszkednek a metszetgörbékre, ezt oldjuk meg a következõ ábrázolással, Baloldalt a felsõ határolófelület nélkül, a jobb oldalon vele együtt láthatjuk a kialalkuló zárt tértartományt.

Kiszámítás: Elõször az XY-síkon (z=0) keletkezett metszetgörbék által határolt H zárt síktartományt tekintjük, ami egy derékszögû háromszög. A kettõsintegrál értékét nem a definíció szerint, hanem a szukcesszív integrálás módszerét alkalmazva határozzuk meg. Eszerint amennyiben a H tartományunk normáltartomány, akkor a kettõsintegrált két egyszeres integrál egymás utáni meghatározásával számíthatjuk ki. A példánkban szereplõ derékszögû háromszög elsõ és második típusú normáltartományként is kezelhetõ. Elsõ típusúként felfogva (lásd az alábbi ábrát), a következõ problémával állunk szemben:

Kiszámítás (folytatás):