A számfogalom felépítése

A komplex számokkal kapcsolatos tudnivalókat csak röviden, és bizonyítások nélkül (vagy csak vázlatos bizonyításokkal) foglaljuk össze, mert ezt mindenki tanulta már. Ami esetleg újdonság lehet, az a komplex számok számpárokkal való bevezetése, ahol nem kell „hinni” abban, hogy létezik olyan

$i$ -vel jelölt „valami”, aminek a négyzete

$-1$ , mert ezt az elemet megkonstruáljuk. Ez a számpáros felépítés hasonlít az egész számok és a racionális számok konstrukciójára, de egyszerűbb azoknál, mert itt nem kell semmiféle kongruenciával faktorizálni.

A komplex számok után hasonló, de kissé fura „számokkal” foglalkozunk, és bebizonyítjuk, hogy izomorfia erejéig csak háromféleképpen lehet a kétdimenziós valós vektorokon (a sík pontjain) olyan szorzást definiálni, hogy a megszokott műveleti tulajdonságoknak legalább egy része érvényben maradjon.

Komplex számok

Az összeadást komponensenként végezzük, ezért világos, hogy

$(\mathbb{R}^{2};+)$ Abel-csoport, az additív egységelem

$(0,0)$ , az

$(a,b)$ elem additív inverze

$(-a,-b)$ . A szorzás kommutativitása is világos, az asszociativitása sem nehéz, de némi számolást igényel. A multiplikatív egységelem

$(1,0)$ , az

$(a,b)$ elem multiplikatív inverzének meghatározásához pedig az

$(ax-by,bx+ay)=(1,0)$ egyenletet kell megoldani. Ez egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert ad, amit célszerű a Cramer-szabállyal megoldani. Azt kapjuk, hogy

$a^{2}+b^{2}\neq 0$ esetén van megoldás, és a megoldás egyértelmű:

$x= \frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \quad y=\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}.$ Tehát

$(0,0)$ kivételével minden elemnek van multiplikatív inverze. Ezután már csak a disztributivitást kell igazolni, ami megint csak egy „csak fel kell írni és kijön” típusú számolás.

A fenti beágyazásnak köszönhetően azonosíthatjuk az

$(a,0)$ komplex számot az

$a$ valós számmal. Így a valós számtest részteste lesz a komplex számtestnek.

Ezután a komplex számokat nem valós számokból álló számpárokként, hanem

$a+bi$ alakú formális kifejezésekként kezelhetjük. A szorzás és a reciprokképzés így fest kanonikus alakban:

$\begin{gather*} (a+bi) \cdot(c+di) =ac+adi+bci+bdi^{2}=( ac-bd) +(ad+bc) i;\\ \frac{1}{a+bi}=\frac{1}{a+bi}\cdot\frac{a-bi}{a-bi}=\frac{a-bi}{a^{2}+b^{2} }=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}i\quad\text{(ha }a+bi\neq 0\text{).} \end{gather*}$

A konjugált, abszolút érték, argumentum fogalmát, a trigonometrikus alakot és a trigonometrikus alakban való számolást (szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás egységgyökök) nem részletezzük.

A következő két tétel a komplex számok definiálására két további lehetőséget ad: valós polinomok maradékosztályaival illetve

$2\times 2$ -es valós mátrixokkal is bevezethetjük őket.

$\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ maradékosztálytest minden eleme egyértelműen felírható

$\overline{a+bx} = \overline{a}+\overline{b}\cdot\overline{x} = a+b\cdot\overline{x}$ alakban (itt a konstans polinomok maradékosztályait szokás szerint azonosítottuk a valós számokkal). Nyilván

$\overline{x^2+1}=\overline{0}$ , azaz

$\overline{x^2}=\overline{-1}$ , ezért az

$\overline{x}$ maradékosztálynak az

$i$ komplex számot fogjuk megfeleltetni. Így kapjuk az alábbi leképezést, amelyről könnyen ellenőrizhető, hogy valóban izomorfizmus:

$\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \to \mathbb{C}, \quad \overline{a+bx}\mapsto a+bi.$

A fenti tétel a következő általános testelméleti konstrukció speciális esete. Legyen

$T$ test,

$m\in T\left[ x\right]$ irreducibilis

$n$ -edfokú polinom. Ekkor

$K=T\left[ x\right] /(m)$ olyan test, amelyben az

$m$ polinomnak van gyöke, mégpedig

$\alpha=\overline{x}$ . Valóban,

$m(\alpha)=m(\overline{x})=\overline{m(x)}=\overline{m}=\overline{0}=0$ . A

$K$ test minden eleme egyértelműen felírható a következő alakban:

$\overline{a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}}=a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_{1}\alpha+a_{0}\quad(a_{n-1},\ldots,a_{0}\in T).$ A

$K$ testről elég annyit tudni, hogy elemei a fenti „kanonikus alakban” felírhatók, és az

$\alpha$ szimbólumra

$m(\alpha)=0$ teljesül. Ez a két információ egyértelműen meghatározza a

$K$ testet (izomorfia erejéig). Azt mondjuk, hogy a

$K$ test

$T$ -ből az

$m$ polinom egy

$\alpha$ gyökének adjungálásával keletkezik:

$K=T(\alpha)$ , és az ilyen testbővítést egyszerű algebrai bővítésnek nevezzük. A komplex számtestet tehát a valós számtestből az

$m=x^{2}+1$ irreducibilis polinom egy gyökének adjungálásával kapjuk:

$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i) .$

Az egységmátrix skalárszorosai a valós számtesttel izomorf résztestet alkotnak a mátrixgyűrűben, tehát az

$a\cdot E = \bigl(\begin{smallmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrixnak az

$a$ valós számot fogjuk megfeleltetni. Az

$I:=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete

$\bigl(\begin{smallmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\bigr) = -1 \cdot E$ , ami a

$-1$ számnak felel meg, tehát az izomorfizmus

$I$ -hez

$i$ -t fogja rendelni. Egy tetszőleges

$\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ -b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ alakú mátrixot egyértelműen fel tudunk írni

$aE+bI$ alakban:

$\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = a \cdot E + b \cdot I.$ Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:

$\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \mapsto a+bi.$

A fenti izomorfizmusnál egy komplex szám konjugáltjának a neki megfelelő mátrix transzponáltja felel meg, az abszolút értéknek pedig a determináns négyzetgyöke. Tudjuk, hogy az

$e^{i\varphi}=\operatorname{cis}\varphi=\cos\varphi+i\sin\varphi$ komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon az origó körüli

$\varphi$ szögú forgatást adja. Ezzel összhangban az

$e^{i\varphi}$ komplex számhoz tartozó

$\bigl(\begin{smallmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\sin\varphi & \cos\varphi \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció szintén az origó körüli

$\varphi$ szögú forgatás.

Study-féle számok

Mi lenne, ha azt mondanánk, hogy

$i^2$ ne

$-1$ legyen, hanem

$0$ ? Ezt tekinthetjük szükségtelen bővítésnek, mert a valós számtestben már van olyan elem, aminek a négyzete nulla, de sebaj, most lesz még egy (sőt több!). A kapott struktúra ezért nem lesz test (még integritástartomány sem), csak gyűrű. Így kapjuk a Study-féle számokat, amelyeket a komplex számokhoz hasonlóan számpárokkal lehet precízen bevezetni, de az egyszerűség kedvéért ettől eltekintünk, és mindját „kanonikus alakban” írjuk fel őket. Itt

$i$ helyett az

$\varepsilon$ szimbólumot használjuk. (Figyelem: ez nem ugyanaz, mint a nemarkhimédeszi testeknél használt

$\varepsilon$ ! Ott volt egy lineáris rendezésünk, és

$\varepsilon$ olyan pozitív elemet jelölt, ami ebben a rendezésben olyan kicsi, hogy kisebb minden pozitív racionális számnál. Most nincs rendezésünk, de ennek ellenére bizonyos szempontból helyénvaló az az intuíció, hogy

$\varepsilon$ nagyon kicsi elem: olyan kicsi, hogy a négyzete már nulla. Gondoljunk például egy hatványsorra, amelyből az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a másod- és magasabb fokú tagokat, mert azok már elhanyagolhatóan kicsik.)

A Study-féle számok (más néven parabolikus komplex számok vagy duális számok) olyan

$a+b\varepsilon$ alakú formális kifejezések, ahol

$a$ és

$b$ valós számok,

$\varepsilon$ pedig egy olyan szimbólum (nem eleme a valós számtestnek), amelyre

$\varepsilon^{2}=0$ . Az összeadást és a szorzást természetes módon értelmezzük:

$\begin{align*} (a+b\varepsilon) +(c+d\varepsilon) & =(a+c) +(b+d) \varepsilon,\\ (a+b\varepsilon) \cdot(c+d\varepsilon) & =ac+(ad+bc) \varepsilon. \end{align*}$

A hatványozás sokkal egyszerűbb, mint a komplex számoknál:

$(a+b\varepsilon)^n =a^{n}+na^{n-1}b\varepsilon$ (33. házi feladat). Ez speciális esete a következőnek: tetszőleges

$f\in\mathbb{R}[x]$ polinomra

$f(a+b\varepsilon) =f(a) +f^{\prime}(a)b\varepsilon$ . Ez a képlet nemcsak polinomokra, hanem analitikus függvényekre is érvényes (amelyeket a Taylor-sorfejtés segítségével lehet kiterjeszteni a Study-féle számokra). Ezen alapul a Study-féle számok alkalmazása az automatikus differenciálásban.

Mivel

$x^2$ nem irreducibilis

$\mathbb{R}$ felett, az

$\mathbb{R}[x]/(x^{2})$ maradékosztály-gyűrű nem test; ez is egy lehetséges magyarázat arra, hogy a Study-féle számok miért nem alkotnak testet.

Most is az analóg komplex számos tétel bizonyítását imitáljuk. A

$\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete

$0$ , ő fog

$\varepsilon$ -nak megfelelni. Egy tetszőleges

$\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ 0 & a \end{smallmatrix}\bigr)$ alakú mátrixot a következőképpen bonthatunk fel:

$\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ 0& 0 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} .$ Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:

$\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a \end{pmatrix} \mapsto a+b\varepsilon.$

A Study-féle számok Eduard Study német matematikusról kapták a nevüket, aki kitérő egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetének leírására használta őket: ha a két egyenes távolsága

$d$ , az általuk bezárt szög pedig

$\vartheta$ , akkor a

$\vartheta + d \varepsilon$ Study-féle szám írja le a helyzetüket.

Hiperbolikus komplex számok

Most azt nézzük meg, hogy milyen „számokat” kapunk, ha

$i^2$ értéke

$1$ (itt

$i$ helyett a

$j$ jelölést használjuk). Mivel

$\mathbb{R}$ -ben van már két olyan elem is, aminek a négyzete

$1$ , a kapott bővítés megint csak gyűrű lesz, nem test.

Mivel

$x^2-1$ nem irreducibilis

$\mathbb{R}$ felett, az

$\mathbb{R}[x]/(x^{2}-1)$ maradékosztály-gyűrű nem test; ez is egy lehetséges magyarázat arra, hogy a hiperbolikus komplex számok miért nem alkotnak testet.

A megfelelő komplex számos és Study-féle számos tételek bizonyítását másoljuk. A

$\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ mátrix négyzete

$E$ , ő fog

$j$ -nek megfelelni. Egy tetszőleges

$\bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ alakú mátrixot a követketőképpen bonthatunk fel:

$\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ b& 0 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} .$ Ezzel kész is a leképezés, amiről egyszerűen megmutatható, hogy valóban izomorfizmus:

$\begin{pmatrix} a & b\\ b & a \end{pmatrix} \mapsto a+bj.$

Nem általánosítottunk mindent a komplex számokról a Study-féle számokra és a hiperbolikus komplex számokra. Íme néhány gondolkoznivaló ezzel kapcsolatban:

Test feletti algebrák

A komplex számok, a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok is gyűrűt alkotnak, de egyúttal

$\mathbb{R}$ feletti kétdimenziós vektorteret is (ennek köszönhetően tudjuk a komplex számokat a Gauss-féle számsíkon ábrázolni; a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok ábrázolásával kapcsolatban lásd pl. a fenti második kérdést). Az ilyen struktúrákat, amik egyszerre gyűrűk és vektorterek is, algebráknak nevezzük.

Egy

$T$ test feletti asszociatív algebrán (vagy röviden csak algebrán) olyan

$A$ nemüres halmazt értünk, melynek elemeit lehet egymással összeadni, szorozni és

$T$ elemeivel szorozni:

$\begin{align*} +\colon A\times A & \rightarrow A,\,(a,b) \mapsto a+b;\\ \bullet\colon A\times A & \rightarrow A,\,(a,b) \mapsto a\bullet b;\\ \cdot\colon T\times A & \rightarrow A,\,(\lambda,b) \mapsto\lambda\cdot a; \end{align*}$ és teljesülnek a következő tulajdonságok:

$\forall a,b,c\in A\colon \; (a+b) +c=a+(b+c)$
$\forall a,b\in A\colon \; a+b=b+a$
$\exists z\in A~\forall a\in A\colon \; a+z=a$
$\forall a\in A~\exists b\in A\colon \; a+b=z$
$\forall a,b,c\in A\colon \; (a\bullet b) \bullet c=a\bullet(b\bullet c)$
$\forall a,b,c\in A\colon \; (a+b) \bullet c=a\bullet c+b\bullet c$
$\forall a,b,c\in A\colon \; a\bullet(b+c) =a\bullet b+a\bullet c$
$\forall a,b\in A~\forall\lambda\in T\colon \; \lambda\cdot(a+b) =\lambda\cdot a+\lambda\cdot b$
$\forall a\in A~\forall\lambda,\mu\in T\colon \; (\lambda+\mu) \cdot a=\lambda\cdot a+\mu\cdot a$
$\forall a\in A~\forall\lambda,\mu\in T\colon \; (\lambda\mu) \cdot a=\lambda\cdot(\mu\cdot a)$
$\forall a\in A\colon \; 1\cdot a=a$
$\forall a,b\in A~\forall\lambda\in T\colon \; \lambda\cdot(a\bullet b) =(\lambda\cdot a) \bullet b=a\bullet(\lambda\cdot b)$

Az (1)–(7) tulajdonságok azt írják le, hogy $(A;+,\bullet)$ gyűrű. Az additív egységelemet egyelőre $z$ jelöli, hogy megkülönböztessük a $T$ test additív egységelemétől, amit $0$ -val szoktunk jelölni. A (11)-es tulajdonságban $1$ a $T$ test multiplikatív egységeleme. Az $(A;+,\bullet)$ gyűrűnek nem feltétlenül létezik multiplikatív egységeleme, és a $\bullet$ művelet kommutativitását sem követeljük meg (ahogy a gyűrű definíciójában sem); de speciális algebrákban ezek persze teljesülhetnek (lásd a következő definíciót). Mint minden gyűrűben, itt is teljesül $a \bullet z = z \bullet a = z$ minden $a \in A$ esetén.
Az (1)–(4) és (8)–(11) tulajdonságok azt jelentik, hogy $A$ vektorteret alkot $T$ felett ( $A$ elemei a vektorok, speciálisan $z$ a nullvektor, $T$ elemei pedig a skalárok). Mint minden vektortérben, itt is teljesül $\lambda \cdot a = z \iff \lambda=0 \text{ vagy } a = z$ minden $\lambda\in T$ és $a \in A$ esetén.
A (12) tulajdonság a „hab a tortán”, ami összekapcsolja a kétféle szorzást (vektor skalárral való szorzását és két vektor szorzását).
A $\cdot$ „művelet” igazából nem művelet, mert két különböző halmazbeli elemet szorzuk össze. (Általában $n$ -változós műveleten $A^n \to A$ alakú leképezést értünk.) Emiatt szokás inkább minden $\lambda \in T$ skalárra tekinteni a $\lambda$ -való szorzást, mint egyváltozós műveletet: $A \to A, \; a \mapsto \lambda \cdot a$ .
A skalárok összeadását és a vektorok összeadását ugyanúgy jelöltük (ahogy vektortereknél ez szokás), és a skalárok egymással való szorzását (azaz a $T$ testbeli szorzást) is ugyanúgy jelöljük, mint vektor skalárral való szorzását, ráadásul a $\cdot$ jelet is elhagyjuk időnként. A szövegkörnyezetből és a jelölésekből világos lesz, hogy melyikről van szó; pl. $\lambda \cdot \mu = \lambda\mu$ a $\lambda,\mu \in T$ skalárok szorzata, $\lambda \cdot a = \lambda a$ pedig az $a \in A$ vektornak a $\lambda \in T$ skalárral vett szorzata

Ha a szorzás asszociativitása kivételével minden tulajdonság teljesül, akkor $A$ -t nemasszociatív algebrának nevezzük.
Ha a szorzás kommutatív, akkor $A$ -t kommutatív algebrának nevezzük.
Ha a szorzásra nézve is van egységelem, akkor $A$ -t egységelemes algebrának nevezzük.
Ha $A$ -ban nincsenek zérusosztók (azaz minden $a,b\in A$ esetén $a\bullet b=z\implies a=z$ vagy $b=z$ ), akkor $A$ -t zérososztómentes algebrának nevezzük.
Mivel $A$ vektortér $T$ felett, beszélhetünk a dimenziójáról, és ezt a dimenziót az $A$ algebra rangjának nevezzük.
Ha $A$ nemtriviális végesrangú egységelemes algebra $\mathbb{R}$ fölött, akkor hiperkomplex rendszernek, elemeit pedig hiperkomplex számoknak nevezzük.
Ha $A$ -nak csak egy eleme van, akkor triviális algebrának nevezzük.

Minden test $1$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebra saját maga fölött.
A komplex számok $2$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
A Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok $2$ rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
Az $n\times n$ -es valós mátrixok $n\geq2$ esetén $n^{2}$ rangú asszociatív, egységelemes nemkommutatív algebrát alkotnak a valós számtest fölött.
A $T$ feletti polinomok végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes algebrát alkotnak $T$ fölött (egy bázis: $1,x,x^2,\ldots$ ).
A folytonos valós függvények végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak $\mathbb{R}$ fölött.
A differenciálható valós függvények végtelen rangú asszociatív, kommutatív, egységelemes algebrát alkotnak $\mathbb{R}$ fölött.

Az algebra szónak (legalább) három különböző jelentése van. Jelent egyrészt általános értelemben vett algebrai struktúrát, azaz műveletekkel felszerelt nemüres halmazt (pl. félcsoport, csoport, gyűrű, test, vektortér, háló, stb.), jelenti másrészt a matematika egy ágát (ami az algebrai struktúrákkal foglalkozik), és harmadrészt jelenti a most definiált speciális algebrai struktúrafajtát (ami egyszerre gyűrű és vektortér) is. Az algebra alaptétele kifejezésben nem a második, hanem a harmadik értelemben használjuk: itt a komplex számok

$\mathbb{R}$ feletti

$2$ rangú algebrájának alaptételéről van szó, nem pedig az algebra tudományának alaptételéről.

A komplex számok algebrája tartalmaz

$\mathbb{R}$ -rel izomorf résztestet, és hasonló igaz a Study-féle számok és a hiperbolikus komplex számok algebrájára. A következő tételben ezt általánosítjuk tetszőleges egységelemes algebrára.

Jelölje

$z$ az

$A$ algebra additív egységelemét,

$e$ pedig a multiplikatív egységelemet. Mivel

$A$ nemtriviális,

$e\neq z$ . A következő leképezés beágyazza

$T$ -t

$A$ -ba:

$\varphi\colon T\rightarrow A, \; \lambda\mapsto\lambda\cdot e.$ Az alábbi négy dolgot kell ellenőriznünk (minden lépésnél gondoljuk meg, hogy az algebra definíciójában szereplő tucatnyi tulajdonság közül melyiket vagy melyeket használjuk!).

injektivitás

Bármely

$\lambda,\mu \in T$ esetén

$\lambda\varphi = \mu\varphi \iff \lambda\cdot e=\mu\cdot e \iff (\lambda-\mu) \cdot e=z$ . Mivel

$e\neq z$ , a

$(\lambda-\mu) \cdot e=z$ egyenlőség csakis

$\lambda-\mu=0$ esetén teljesülhet. Ezzel beláttuk, hogy

$\lambda\varphi = \mu\varphi \iff\lambda=\mu$ .

felcserélhetőség a

$+$ művelettel

Bármely

$\lambda,\mu \in T$ esetén

$\lambda\varphi + \mu\varphi =\lambda\cdot e+\mu\cdot e=(\lambda+\mu) \cdot e=(\lambda+\mu)\varphi$ .

felcserélhetőség a

$\bullet$ művelettel

Bármely

$\lambda,\mu \in T$ esetén

$\lambda\varphi \bullet \mu\varphi =(\lambda\cdot e) \bullet(\mu\cdot e) =(\lambda \mu) \cdot(e\bullet e) =(\lambda\mu) \cdot e=(\lambda\mu)\varphi$ .

felcserélhetőség a

$\cdot$ „művelettel”

Bármely

$\lambda,\mu \in T$ esetén

$\lambda\cdot \mu\varphi =\lambda\cdot(\mu\cdot e) =(\lambda\mu) \cdot e=(\lambda\mu)\varphi$ .

Ha az algebra szorzása nem is kommutatív, a

$\lambda\cdot e$ alakú elemek akkor is minden elemmel felcserélhetőek:

$(\lambda\cdot e) \bullet a=\lambda\cdot(e\bullet a) =\lambda\cdot a=\lambda\cdot(a\bullet e) =a\bullet(\lambda\cdot e) .$ Ez azt jelenti, hogy

$\varphi(T) \subseteq\mathcal{C}( A)$ , ahol

$\mathcal{C}(A)$ jelöli az

$A$ algebra centrumát :

$\mathcal{C}(A) =\left\{ c\in A:c\bullet a=a\bullet c\text{ minden }a\in A\text{ esetén}\right\} .$

Ezentúl csak egységelemes algebrákkal foglalkozunk és az alaptest elemeit azonosítjuk az előző tételbeli beágyazás melletti képükkel. Tehát úgy tekintjük, hogy

$\lambda\cdot e=\lambda$ , így például

$e=1\cdot e=1$ és

$z=0\cdot e=0$ . Így az alaptest részalgebrája lesz

$A$ -nak:

$T\subseteq A$ . További egyszerűsítésként

$a\bullet b$ helyett csak

$a\cdot b$ -t vagy

$ab$ -t írunk a továbbiakban. A szövegkörnyezetből remélhetőleg mindig világos lesz, hogy a háromféle szorzás közül (skalár-skalár, skalár-vektor, vektor-vektor) mikor melyikről van szó.

A következő tételben megmutatjuk, hogy izomorfia erejéig csak az a három

$2$ rangú hiperkomplex rendszer létezik, amelyekkel az előző három fejezetben megismerkedtünk.

Legyen

$A$ egy

$2$ rangú hiperkomplex rendszer. Ekkor

$A$ kétdimenziós vektortér

$\mathbb{R}$ fölött; tehát bármely két lineárisan független vektora bázist alkot, így például

$\{ 1,c \}$ bázis, minden

$c \in A\setminus\mathbb{R}$ esetén (miért?). Ha sikerül a

$c$ elemet úgy megválasztani, hogy

$c^{2}\in\{-1,0,1\}$ teljesüljön, akkor beláttuk a tétel állítását (ugye?).

Legyen egyelőre $a \in A\setminus\mathbb{R}$ tetszőleges elem; ekkor a fentiek szerint $\{ 1,a \}$ bázis, tehát $A$ bármely eleme egyértelműen felírható $\lambda\cdot1+\mu\cdot a=\lambda+\mu a~(\lambda,\mu\in\mathbb{R})$ alakban. Speciálisan $a^{2}$ is ilyen alakba írható: $a^{2}=\lambda+\mu a$ . A $b:=a-\frac{\mu}{2}\notin\mathbb{R}$ elemre $b^{2}=\lambda+\frac{\mu^{2}}{4}=\beta\in\mathbb{R}$ , tehát az $\{ 1,b \}$ bázis már „majdnem” jó. Három esetet különböztetünk meg $\beta$ előjele szerint.

$\beta=0$

$\beta=0$ , akkor nincs semmi teendőnk:

$c=b$ jó lesz, és rögtön látszik, hogy

$A$ izomorf a Study-féle számok algebrájával a

$\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta \varepsilon\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.

$\beta>0$

$\beta>0$ , akkor legyen

$c=\frac{b}{\sqrt{\beta}}$ . Ekkor

$c^{2}=1$ (ugye?), tehát

$A$ izomorf a hiperbolikus komplex számok algebrájával a

$\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta j\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.

$\beta \lt 0$

$\beta \lt 0$ , akkor legyen

$c=\frac{b}{\sqrt{\left\vert \beta\right\vert }}$ . Ekkor

$c^{2}=-1$ , tehát

$A$ izomorf a komplex számok algebrájával a

$\xi+\eta c \mapsto \xi + \eta i\;(\xi,\eta\in \mathbb{R})$ izomorfizmus mellett.

Ahogy a bevezetőben említettük, ez a tétel úgy interpretálható, hogy ha „kétdimenziós számokat” akarunk definiálni, akkor lényegében csak a megismert három lehetőség van, és ha azt szeretnénk, hogy számaink testet alkossanak, akkor a komplex számtest az egyetlen jó választás.

Hiperkomplex számok

Komplex számok

Study-féle számok

Hiperbolikus komplex számok

Test feletti algebrák